Vecteurs
Définition
Représentation d’un vecteur
Une unité de longueur étant choisie dans le plan, un vecteur est défini par sa direction (la droite (AB) ), son sens (de A vers B) et sa longueur « norme de
» notée
(distance AB).
Egalité de deux vecteurs
Deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même norme :
=
⇔
=
Deux vecteurs de sens contraires ont même direction et même norme :
=-
⇔
=
Soient deux vecteurs égaux et
alors
=
si et seulement si ABDC est un parallélogramme.
Addition de deux vecteurs
Relation de Chasles
+
=
Règle du parallélogramme
+
=
[AC] est la diagonale du parallélogramme ABCD.
Cas de deux vecteurs et
de même direction
Propriétés de l’addition vectorielle
Multiplication par un nombre
Vecteurs colinéaires
On dit que les vecteurs et
sont colinéaires colinéaires colinéaires s’il existe un réel k tel que
=k
et
ont même direction, même sens si k > 0, sens opposé si k < 0 et on a
=
= |k|.
Propriétés
- Soient les vecteurs
et
et les réels a et b on a :
a(+
)=a
+a
( a+b)=a
+b
a(b)= ab
- Si k
=
alors k =0 ou
=
- Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs
et
sont colinéaires.
- Soient les points A et B et un réel k, les points M tels que
sont les points de la droite (AB).
- Deux droites (AB) et (MN) sont parallèles si et seulement si
et
sont colinéaires.
Applications
Milieu d’un segment
Le point I est le milieu de [AB] si et seulement si ou encore
ou encore
Centre de gravité
Soit G le centre de gravité du triangle ABC alors on montre que
Expression vectorielle du théorème de thalès
Repères
Repère orthonormal et orthonormé
Dans le plan soit le point O, on pose . On définit un repère orthonormal
.
Dans ce repère tout point M a pour coordonnées (x; y) où x est l’abscisse et y l’ordonnée :
De même le vecteur de coordonnées
peut s’écrire
Si la maille du quadrillage est carrée on a un repère orthonormé et un repère quelconque si la maille du quadrillage est un parallélogramme.
Calculs sur les coordonnées
Dans un repère soient les vecteurs et
et les points A(xA; yA) et B(xB; yB) :
Egalité de deux vecteurs
Somme de deux vecteurs
Multiplication par un réel
Soit un réel k, alors
Coordonnées d’un vecteur
Distance
Milieu d’un segment
Le milieu I de [AB] est
Vecteurs colinéaires
Les vecteurs sont colinéaires, si et seulement si xy’ = yx’.