La géométrie ou les géométries ?

Publié le : 18 août 20205 mins de lecture
Géométrie , la branche des mathématiques concernée par la forme des objets individuels, les relations spatiales entre divers objets et les propriétés de l’ espace environnant . C’est l’une des plus anciennes branches des mathématiques, ayant surgi en réponse à des problèmes pratiques tels que ceux rencontrés dans l’ arpentage , et son nom est dérivé des mots grecs signifiant «mesure de la Terre». Finalement, on s’est rendu compte que la géométrie ne devait pas être limitée à l’étude des surfaces planes (géométrie plane) et des objets tridimensionnels rigides (géométrie solide) mais que même les pensées et les images les plus abstraites pouvaient être représentées et développées en termes géométriques.

Cet article commence par un bref guide des principales branches de la géométrie, puis procède à un traitement historique approfondi. Pour plus d’ informations sur les branches spécifiques de la géométrie, voir la géométrie euclidienne , la géométrie analytique , la géométrie projective , la géométrie différentielle , géométries non-euclidiennes , et la topologie .

Principales Branches De La Géométrie

Géométrie euclidienne

Dans plusieurs cultures anciennes , il a développé une forme de géométrie adaptée aux relations entre les longueurs, les surfaces et les volumes des objets physiques. Cette géométrie a été codifiée dans les éléments d’Euclide environ 300 AVANT notre ÈRE sur la base de 10 axiomes, ou postulats, à partir desquels plusieurs centaines de théorèmes ont été prouvés par la logique déductive. Les Éléments incarnaient la méthode axiomatique-déductive pendant de nombreux siècles.

Géométrie analytique

La géométrie analytique a été initiée par le mathématicien français René Descartes (1596–1650), qui a introduit des coordonnées rectangulaires pour localiser des points et pour permettre aux lignes et courbes d’être représentées avec des équations algébriques. La géométrie algébrique est une extension moderne du sujet aux espaces multidimensionnels et non euclidiens.

Géométrie projective

La géométrie projective est née avec le mathématicien français Girard Desargues (1591–1661) pour traiter les propriétés des figures géométriques qui ne sont pas modifiées en projetant leur image, ou «ombre», sur une autre surface .

Géométrie différentielle

Le mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777–1855), en relation avec des problèmes pratiques d’arpentage et de géodésie, a lancé le domaine de la géométrie différentielle. À l’aide du calcul différentiel , il a caractérisé les propriétés intrinsèques des courbes et des surfaces. Par exemple, il a montré que la courbure intrinsèque d’un cylindre est la même que celle d’un plan, comme on peut le voir en coupant un cylindre le long de son axe et en l’aplatissant, mais pas la même que celle d’une sphère , qui ne peut être aplatie sans Distorsion.

Géométries non euclidiennes

À partir du XIXe siècle, divers mathématiciens ont substitué des alternatives au postulat parallèle d’Euclide , qui, dans sa forme moderne, se lit comme suit: «étant donné une ligne et un point non sur la ligne, il est possible de tracer exactement une ligne passant par le point donné parallèle à la ligne. » Ils espéraient montrer que les alternatives étaient logiquement impossibles. Au lieu de cela, ils ont découvert qu’il existait des géométries non euclidiennes cohérentes.

Topologie

La topologie, la branche la plus jeune et la plus sophistiquée de la géométrie, se concentre sur les propriétés des objets géométriques qui restent inchangées lors d’une déformation continue – rétrécissement, étirement et pliage, mais pas de déchirement. Le développement continu de la topologie remonte à 1911, lorsque le mathématicien néerlandais LEJ Brouwer (1881–1966) a introduit des méthodes généralement applicables au sujet.