Image d’un point

Définition

Lorsqu’on fait glisser la figure F ci-contre, sans la faire tourner, on déplace tous ses points sur des droites parallèles, dans le même sens et d’une même distance.

On dit qu’on effectue une translation de F. On obtient F ‘, image de F par la translation qui transforme A en B. Une translation est caractérisée par la donnée d’un point A et de son image B.

L’image d’un point

1 er cas : M n’est pas sur la droite ( AB). Si le point N est l’image du point M par la translation qui transforme A en B, alors le quadrilatère AMNB est un parallélogramme.                              

2 ème cas : M est sur la droite ( AB). Le point N est aussi sur la droite ( AB), dans ce cas on a un parallélogramme aplati.

Construction de l’image d’un point

On donne trois points non alignés A, B et C. Contruire l’image D du point C par la translation qui transforme A
en B.
Il suffit de constuire le point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

Montrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme

Pour démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme, on peut mettre en évidence une translation qui
transforme deux de ses sommets en ses deux autres sommets.

Image d’une figure

Image d’une droite

L’image d’une droite (d) par une translation est une droite (d’) parallèle à (d). Tout point de (d) a une image sur ( d’).

Image d’une demi-droite

L’image d’une demi-droite [MN) par une translation est une demi-droite [M’N’) parallèle à [MN) telle que M’ est l’image de M.                                                                                              

Image d’un segment

L’image d’un segment [MN] par une translation est un segment [M’N’] de même longueur porté par une droite parallèle. Les droites (MN) et (M’N’) sont parallèles et MN = M’N’. M ‘ est l’image de M et N’ est l’image de N.

Image d’un triangle

L’image d’un triangle par une translation est un triangle qui lui est superposable (de mêmes dimensions).

ABC a pour image A’B’C’.                                              

Image d’un cercle

L’image d’un cercle par une translation est un cercle de même rayon et dont les centres sont images par la translation.
O a pour image O’.

Image d’une figure quelconque

Une figure et son image par translation sont superposables.

Propriétés

Une translation conserve :

  • les longueurs (ou les distances),
  • l’alignement,
  • les angles,
  • les aires.

Quadrillage

A l’aide d’un quadrillage, on peut construire facilement des images par translation, pour cela on utilise les carreaux du quadrillage pour se déplacer.

Pavage et Frise

Pavage

On applique la translation t qui transforme A en B au motif M, puis successivement aux images obtenues et on obtient la première ligne. On applique ensuite la translation t ‘ qui transforme C en D au motif M puis aux images obtenues et on obtient les lignes suivantes. On recouvre ainsi la feuille sans laisser d’espace. On dit que le motif M permet de « paver » le plan.                             

Le motif M est le motif minimum permettant de reconstituer l’ensemble du pavage.

Exemple de pavage : le carrelage d’une pièce.

Frise

On applique la translation qui transforme A en B au motif tracé en rouge sur la figure, puis successivement aux images obtenues et on obtient un frise.

Exemple de frise : une clôture en grillage.                 

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