Définition
L'écriture a p se lit "racine carrée de a ", elle désigne un nombre positif et n'a de sens que si a > 0. Le symbole √ est appelé radical. Dans l'expression √a = x on a a > 0 et x > 0.
Si x = √a alors x2 = a. Pour a > 0 on a : (√a)2 = a et √a2 = a. √a2 existe même si a est négatif, mais on a √a2 = a uniquement si a est positif. Si a est négatif alors √a2 = - a, en effet dans ce cas -a est positif.
Propriétés
Soient a et b deux nombres positifs : √(a×b) = √a × √b et pour b ≠ 0, 
Il n'existe aucune règle de calcul concernant la somme de deux racines carrées. √(a + b) ≠ √a + √b
Interprétation géométrique
Dans le triangle ABC rectangle en A tel que AB = AC = 1 on a, d'après le théorème de Pythagore :
BC2 = AB2 + AC2, d'où BC2 = 12 + 12 = 2, donc BC = √2.
Ordre des racines carrées et des carrés
Pour tout nombre positif a et b on a : Si a2 > b2 alors a > b
Donc si a > b alors a p > b p .
et réciproquement : Si a > b alors a2 > b2 Donc si √a > √b alors a > b.
Résoudre une équation de la forme x2 = a
Si a > 0 alors l'équation x2 = a a deux solutions √a et - √a. Si a < 0 alors l'équation x2 = a n'a pas de solution. Si a = 0 alors l'équation x2 = a devient x2 = 0 et a une seule solution x = 0.
La touche 
de la calculatrice
La touche de la calculatrice a déjà été utilisée en classe de quatrième lors d'exercices portant sur le calcul de côtés d'un triangle rectangle à partir du théorème de Pythagore. Cette touche fournit une valeur approchée d'une racine carrée.
Calculs sur les radicaux
Ecrire √n sous la forme a√b
n, a et b sont des entiers et b est le plus petit possible.
Ecrire √45 sous la forme a√b avec b entier le plus petit possible. On écrit 45 sous la forme d'un produit d'un carré par un entier : 45 = 9×5 On a donc : √45 = √(9×5) On sait que la racine carrée d'un produit est égale au produit des racines carrées, on a donc : √45 = √9 × √5, soit √45 = 3 √5.
Simplifier une somme
n√b + p√b = ( n + p)√b
Seules les sommes ayant le même nombre sous le radical peuvent être simplifiées.
L'écriture 5√7 - 3√7 est simplifiable : 5√7 - 3√7= 2√7.
En revanche 2√5+ 4√3 ne l'est pas.
Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction
Rendre rationnel le dénominateur d'une fraction c'est supprimer la racine du dénominateur de cette fraction.
- Soit la fraction
. (b > 0)
En multipliant numérateur et dénominateur de cette fraction par b p on obtient la fraction équivalente :
On voit que le radical à "disparu" du dénominateur.
- Soit la fraction
. (c > 0)
On multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur : b - √c :
Ici aussi le radical à "disparu" du dénominateur.
Ecrire sans radical au dénominateur 
On multiplie le numérateur et le dénominateur par √2
Comparaison de nombres contenant des radicaux
Pour comparer deux expressions contenant des racines carrées il suffit de les élever au carré. En effet on a vu au paragraphe "Ordre des racines carrées et des carrés" que les nombres et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
Comparer 2√3 et 3√2
On les élève au carré et on obtient : (2√3)2 = 12 et (3√2)2= 18 Or 12 < 18, donc : 2√3 < 3√2.