Suites proportionnelles
Définition
Deux suites de nombres sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant les nombres de la première suite par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité a . Deux suites proportionnelles à une même troisième sont proportionnelles entre elles.
Représentation graphique
Dans le plan muni d'un repère orthonormé la représentation graphique de deux suites proportionnelles est une droite qui passe par l'origine. En abscisses on a les nombres d'une des deux suites et en ordonnées les nombres de la deuxième.
Proportions
Tableau de proportionnalité
C'est un tableau à deux lignes dans lequel les nombres de la deuxième ligne sont obtenus en multipliant les nombres de la première ligne par le coefficient de proportionnalité.
Reconnaître une proportion
Quatre nombres a, b et c, d forment une proportion si on a les relations suivantes : ka = c et kb = d ou ad = bc ou =(b/d)
Quatrième proportionnelle
C'est le nombre manquent dans un tableau de proportionnalité de quatre nombres .
Anne a acheté 1,1 kg de cerises et a payé 6,49 euros, sa voisine Marine en a acheté 1,4 kg. Combien Marine doit-elle payer, sachant que les prix sont proportionnels aux masses ?
Première méthode : tableau de proportionnalité Soit x le prix payé par Marine
x== 8,26
Deuxième méthode : retour à l'unité
1,1 kg coûte 6,49 euros 1 kg coûte (6,49/1,1) euros 1,4 kg coûte (6,49/1,1)×1,4 euros
Marine doit payer 8,26 euros.
Applications de la proportionnalité
Vitesse
Définition
La vitesse est la distance parcourue par unité de temps. L'unité légale est le "mètre seconde", m/s ou m.s−1.
Vitesse moyenne
La durée du trajet t et la distance d sont des grandeurs proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse v : d = vt
Pourcentages
Appliquer un pourcentage
Calculer un pourcentage t c'est multiplier un nombre par (t/100). (t/100) est un coefficient de proportionnalité.
2. Retrouver une valeur initiale
Un commerçant fait une remise de 5% sur ses livres. J'achète un livre et j'obtiens une réduction de 2 euros. Quel était le prix initial du livre ?
Soit p le prix initial recherché, on a : p×(5/100)= 2,
d'où : p = 2×(100/5)= 40 euros.
Calculer un pourcentage
Un commerçant fait une remise de 20 euros sur un article de 175 euros. Quel est le pourcentage de la remise ?
On appelle r la remise en pourcentage.
r = 20/175×100 ≈11,4%, arrondi au dixième.
Obtenir un pourcentage après réunion de deux groupes
Une pâte d'amande A contient 40% de sucre, et une pâte d'amande B contient 30% de sucre. On mélange 150 grammes de la pâte d'amande A avec 100 grammes de la pâte d'amande B. Quel sera le pourcentage de sucre dans le mélange obtenu ?
150 g de pâte d'amande A contiennent ((40×150)/100) 60 g de sucre. 100 g de pâte d'amande B contiennent ((30×100)/100) 30 g de sucre. 250 g (150 + 100) de mélange contiennent (60 + 30) 90 g de sucre. Le mélange contient (90×100)/250 = 36% de sucre.
Echelle
L'échelle d'une carte est 1 / 10000, se lit "un dix millième". C'est à dire que 1 cm sur la carte représente 10000 cm = 1 km sur le terrain.
Indice
Un bungalow à la mer se loue pour une semaine à différents tarifs selon la saison. L'indice du coût de la location base 100 est 250 euros.
Calculer le coût de la location indice 80, 90, 110, 120.
indice 80 : coût =(250×80)/100 = 250×0,8 = 200 indice 90 : coût = 250×0,9 = 225 indice 110 : coût = 250×1,1 = 275 indice 120 : coût = 250×1,2 = 300
Autres exemples de grandeurs quotients
Ce sont des unités exprimées sous forme de quotient, comme la vitesse. Il existe aussi des unités produits, par exemple le kilowattheure en électricité.
Consommation d'essence
Une voiture consomme 7 litres d'essence aux 100 kilomètres, combien consommera-t-elle pour parcourir 50 kilomètres ?
On dresse un tableau de proportionnalité :
x = (7×50)/100 = 3,5 litres.
Débit d'un robinet
Le débit peut s'exprimer en litres par minute, le débit d'un fleuve s'exprimera en m 3 /s ou m 3 s-1. On a rempli un seau de 10 litres en 25 secondes. Calculer le débit du robinet qui a permis de remplir le seau (en l/min).
Il faut calculer le nombre de litres délivré en 1 min soit 60 sec. : (10×60)/25 = 24 l/min.
Concentration d'une solution
Le nombre d'ions contenus dans un litre de solution, la quantité de sucre (ou de sel) en grammes contenu dans un litre de boisson par exemple. Très utilisé en chimie.
Masse volumique
Pour un corps homogène, le volume et la masse sont des grandeurs proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est appelé masse volumique.
Une unité usuelle de masse volumique est le gramme par centimètre cube, noté g/cm 3 ou g.cm -3.