Comparaison de nombres
Comment comparer deux nombres
On veut comparer les nombres a et b :
Comparer ces deux nombres à un nombre intermédiaire n
Si a < n et b > n alors b > a. En particulier : si a < 0 et b > 0 alors b > a.
Etudier le signe de leur différence
a – b > 0 équivaut à a > b
a – b = 0 équivaut à a = b
a – b < 0 équivaut à a < b
Comparer les carrés des deux nombres
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : 
⇔ a > b
Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs carrés : 
, a < b
Calculer le quotient des deux nombres
Si 
> 1 et a et b positifs, alors a > b.
Si < 1 et a et b positifs, alors a < b.
Règles de calcul sur les inégalités
- Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre
- Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre k > 0 conserve l’ordre
- Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre k < 0 change l’ordre
- Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens conserve l’ordre
- Multiplier membre à membre deux inégalités de même sens dans ℝ + conserve l’ordre
- Multiplier membre à membre deux inégalités de même sens dans ℝ – change l’ordre
Comparaison de a, a² , a3 avec a > 0
Pour tout a > 1 on a a ≤ a² ≤ a3
Pour tout 0 < a < 1 on a ≥ a² ≥ a3
Intervalles de ℝ
Notion d’intervalles
a ≤ x < b s’écrit x ∈ [ a ; b[. Cet intervalle représente le segment [AB[.
L’ensemble des réels s’écrit ℝ = ] -1 ; + 1 [. Cet intervalle représente toute la droite graduée. Un ensemble vide se note Ø.
Un ensemble ne contenant que le seul élément a se note {a}.
Intersection – Réunion
L’intersection I⋂J de deux intervalles I et J est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J. La réunion I⋃J de deux intervalles I et J est l’ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J.
Valeur absolue – Distance
Valeur absolue
Définition
La valeur absolue du réel a est notée |a|.
Si a ≥ 0 alors |a| = a
Si a ≤ 0 alors |a| = – a
Propriétés
Pour tous les réels a et b on a :
|a| = 0 ⇔ a = 0
avec a ≠ 0
| – a| = |a|
√a²=|a|
= a²
|a×b| = |a|×|b|
avec b ≠ 0
a + b| ≤ |a| + |b|
Pour a et b positifs : |a + b| = |a| + |b|
La touche 
de la calculatrice
Ecrire, en utilisant les barres de valeur absolue, le calcul effectué par la calculatrice :
La calculatrice a effectué |7 – 5| – |7 – 12|
Distance
Définition
Soient a et b abscisses respectives des points A et B, par définition, la distance AB est AB = |b – a|.
Encadrements
Un encadrement est une double inégalité et a les mêmes propriétés que les inégalités :
- Addition et multiplication membre à membre des encadrements de même sens.
- Multiplication par un même nombre.
Exemples
Ecrire 1 ≤ x ≤ 5 à l’aide d’une valeur absolue.
1 ≤ x ≤ 5 , x ∈ [ 1; 5 ].
Cet intervalle a pour centre 
et pour amplitude 
D’où : 1 ≤ x ≤ 5 ⇔ |x – 3| ≤ 2 .
Encadrer x sachant que |x – 1| ≤ 2.
x appartient à l’intervalle centré en 1 et d’amplitude 2, soit l’intervalle [ 1 – 2 ; 1 + 2 ]
Donc x ∈ [ -1 ; 3 ]
D’où : -1 ≤ x ≤ 3
Équations – Inéquations
Résoudre l’équation |x – 4| = 1
Cela revient à résoudre deux équations :
x – 4 = 1 et – x + 4 = 1
D’où l’ensemble des solutions : S = { 3 ; 5 }.
Résoudre l’inéquation |x – 4| ≤ 3
Cela revient à résoudre deux inéquations :
x – 4 ≤ 3 et – x + 4 ≤ 3
D’où les solutions : S = [ 1 ; 7 ] ou x ∈ [ 1 ; 7 ].