Ordre dans ℝ – Valeur absolue

Publié le : 18 décembre 20205 mins de lecture

Comparaison de nombres

Comment comparer deux nombres

On veut comparer les nombres a et b :

Comparer ces deux nombres à un nombre intermédiaire n 

Si a < n et b > n alors b > a. En particulier : si a < 0 et b > 0 alors b > a.

Etudier le signe de leur différence

a – b > 0 équivaut à a > b

a – b = 0 équivaut à a = b

a – b < 0 équivaut à a < b

Comparer les carrés des deux nombres

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : ⇔ a > b

Deux nombres négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs carrés : , a < b

Calculer le quotient des deux nombres

Si  > 1 et a et b positifs, alors a > b.

Si < 1 et a et b positifs, alors a < b.

Règles de calcul sur les inégalités

• Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une inégalité conserve l’ordre
• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre k > 0 conserve l’ordre
• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre k < 0 change l’ordre
• Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens conserve l’ordre
• Multiplier membre à membre deux inégalités de même sens dans ℝ + conserve l’ordre
• Multiplier membre à membre deux inégalités de même sens dans ℝ – change l’ordre

Comparaison de a, a² , a³ avec a > 0

Pour tout a > 1 on a a ≤ a² ≤ a³
Pour tout 0 < a < 1 on a ≥ a² ≥ a³

À découvrir également : Ordre - Inégalités - Encadrements

Intervalles de ℝ

Notion d’intervalles

a ≤ x < b s’écrit x ∈ [ a ; b[. Cet intervalle représente le segment [AB[.

L’ensemble des réels s’écrit ℝ = ] -1 ; + 1 [. Cet intervalle représente toute la droite graduée. Un ensemble vide se note Ø.

Un ensemble ne contenant que le seul élément a se note {a}.

Intersection – Réunion

L’intersection I⋂J de deux intervalles I et J est l’ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J. La réunion I⋃J de deux intervalles I et J est l’ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J.

Valeur absolue – Distance

Valeur absolue

Définition

La valeur absolue du réel a est notée |a|.

Si a ≥ 0 alors |a| = a
Si a ≤ 0 alors |a| = – a

Propriétés

Pour tous les réels a et b on a :
|a| = 0 ⇔ a = 0
   avec a ≠ 0

| – a| = |a|

√a²=|a|

= a²

|a×b| = |a|×|b|
  avec b ≠ 0

a + b| ≤ |a| + |b|
Pour a et b positifs : |a + b| = |a| + |b|

La touche  de la calculatrice

Ecrire, en utilisant les barres de valeur absolue, le calcul effectué par la calculatrice :

La calculatrice a effectué |7 – 5| – |7 – 12|

Distance

Définition

Soient a et b abscisses respectives des points A et B, par définition, la distance AB est AB = |b – a|.

Encadrements

Un encadrement est une double inégalité et a les mêmes propriétés que les inégalités :

• Addition et multiplication membre à membre des encadrements de même sens.
• Multiplication par un même nombre.

Exemples

Ecrire 1 ≤ x ≤ 5 à l’aide d’une valeur absolue.
1 ≤ x ≤ 5 , x ∈ [ 1; 5 ].

Cet intervalle a pour centre         et pour amplitude 

D’où : 1 ≤ x ≤ 5 ⇔ |x – 3| ≤ 2 .

Encadrer x sachant que |x – 1| ≤ 2.

x appartient à l’intervalle centré en 1 et d’amplitude 2, soit l’intervalle [ 1 – 2 ; 1 + 2 ]
Donc x ∈ [ -1 ; 3 ]
D’où : -1 ≤ x ≤ 3

Équations – Inéquations

Résoudre l’équation |x – 4| = 1

Cela revient à résoudre deux équations :
x – 4 = 1 et – x + 4 = 1
D’où l’ensemble des solutions : S = { 3 ; 5 }.

Résoudre l’inéquation |x – 4| ≤ 3
Cela revient à résoudre deux inéquations :
x – 4 ≤ 3 et – x + 4 ≤ 3
D’où les solutions : S = [ 1 ; 7 ] ou x ∈ [ 1 ; 7 ].