Ordre dans ℝ – Valeur absolue

Comparaison de nombres

Comment comparer deux nombres

On veut comparer les nombres a et b :

Comparer ces deux nombres à un nombre intermédiaire n 

Si a < n et b > n alors b > a. En particulier : si a < 0 et b > 0 alors b > a.

Etudier le signe de leur différence

a - b > 0 équivaut à a > b

a - b = 0 équivaut à a = b

a - b < 0 équivaut à a < b

Comparer les carrés des deux nombres

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés : ⇔ a > b

Deux nombres négatifs sont rangés dans l'ordre inverse de leurs carrés : , a < b

Calculer le quotient des deux nombres

Si  > 1 et a et b positifs, alors a > b.

Si < 1 et a et b positifs, alors a < b.

Règles de calcul sur les inégalités

• Ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d'une inégalité conserve l'ordre
• Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre k > 0 conserve l'ordre
• Multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre k < 0 change l'ordre
• Ajouter membre à membre deux inégalités de même sens conserve l'ordre
• Multiplier membre à membre deux inégalités de même sens dans ℝ + conserve l'ordre
• Multiplier membre à membre deux inégalités de même sens dans ℝ - change l'ordre

Comparaison de a, a² , a³ avec a > 0

Pour tout a > 1 on a a ≤ a² ≤ a³ Pour tout 0 < a < 1 on a ≥ a² ≥ a³

Intervalles de ℝ

Notion d'intervalles

a ≤ x < b s'écrit x ∈ [ a ; b[. Cet intervalle représente le segment [AB[.

L'ensemble des réels s'écrit ℝ = ] -1 ; + 1 [. Cet intervalle représente toute la droite graduée. Un ensemble vide se note Ø.

Un ensemble ne contenant que le seul élément a se note {a}.

Intersection - Réunion

L'intersection I⋂J de deux intervalles I et J est l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à I et à J. La réunion I⋃J de deux intervalles I et J est l'ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J.

Valeur absolue - Distance

Valeur absolue

Définition La valeur absolue du réel a est notée |a|. Si a ≥ 0 alors |a| = a Si a ≤ 0 alors |a| = - a Propriétés Pour tous les réels a et b on a : |a| = 0 ⇔ a = 0    avec a ≠ 0 | - a| = |a| √a²=|a| = a² |a×b| = |a|×|b|   avec b ≠ 0 a + b| ≤ |a| + |b| Pour a et b positifs : |a + b| = |a| + |b| La touche  de la calculatrice Ecrire, en utilisant les barres de valeur absolue, le calcul effectué par la calculatrice : La calculatrice a effectué |7 - 5| - |7 - 12|

Distance

Définition Soient a et b abscisses respectives des points A et B, par définition, la distance AB est AB = |b - a|. Encadrements Un encadrement est une double inégalité et a les mêmes propriétés que les inégalités :

• Addition et multiplication membre à membre des encadrements de même sens.
• Multiplication par un même nombre.

Exemples Ecrire 1 ≤ x ≤ 5 à l'aide d'une valeur absolue. 1 ≤ x ≤ 5 , x ∈ [ 1; 5 ]. Cet intervalle a pour centre         et pour amplitude  D'où : 1 ≤ x ≤ 5 ⇔ |x - 3| ≤ 2 . Encadrer x sachant que |x - 1| ≤ 2. x appartient à l'intervalle centré en 1 et d'amplitude 2, soit l'intervalle [ 1 - 2 ; 1 + 2 ] Donc x ∈ [ -1 ; 3 ] D'où : -1 ≤ x ≤ 3

Équations - Inéquations

Résoudre l'équation |x - 4| = 1 Cela revient à résoudre deux équations : x - 4 = 1 et - x + 4 = 1 D'où l'ensemble des solutions : S = { 3 ; 5 }. Résoudre l'inéquation |x - 4| ≤ 3 Cela revient à résoudre deux inéquations : x - 4 ≤ 3 et - x + 4 ≤ 3 D'où les solutions : S = [ 1 ; 7 ] ou x ∈ [ 1 ; 7 ].