Coordonnées

Coordonnées d’un point

Dans le plan on choisit une origine, un axe des abscisses et un axe des ordonnées(ces axes se coupent en O).
On a ainsi défini un repère.
Dans ce repère un point A est repéré par ses coordonnées coordonnées coordonnées xA et y: A(xA , yA).

Si les axes sont orthogonaux on a un repère orthogonal repère orthogonal repère orthogonal .
Si de plus les unités sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées sont égales on a un repère orthonormé repère orthonormé repère orthonormé .

Coordonnées du milieu d’un segment

Soient deux points A et B de coordonnées respectives (xA , yA) et (xB , yB).

Les coordonnées (xM , yM) du milieu M du segment [AB] sont données par :

                                                                                                       

Coordonnées d’un vecteur

Soient dans un repère deux points A et B de coordonnées respectives (xA , yA) et (xB , yB)
Le vecteur  a pour coordonnées :

                                                                

 .

Le vecteur  est la somme des vecteurs  et  résultant de la projection du vecteur  respectivement sur l’axe des abscisses et sur l’axe des ordonnées :

 + 

On peut vérifier le résultat trouvé sur le graphique lorsque les coordonnées des vecteurs sont des nombres
simples.

Donner les coordonnées des vecteurs  et .                               

Coordonnées du vecteur  :

on a A(2 , 2) et B(6 , 4)  donc  a pour coordonnées : (6 − 2 , 4 − 2) soit  (4 , 2)  .

On fait la même chose pour les autres vecteurs de la figure.

Cas particulier : le vecteur a pour origine O

Soit le point M de coordonnées (xM , yM), les coordonnées du vecteur  sont (xM , yM).

Coordonnées de la somme de deux vecteurs

Soient  et  deux vecteurs de coordonnées respectives (x , y) et (x’ , y’).                

Le vecteur  +  pour coordonnées : (x + x ‘ , y + y’).

Distance

La distance entre deux points ne peut se calculer que si l’on se place dans un repère orthonormé repère orthonormé repère orthonormé .

Dans un repère orthonormé soient deux points A et B de coordonnées respectives (xA , yA) et (xB , yB), la distance AB est donnée par :

Pour calculer la distance AB on peut se servir des coordonnées du vecteur  (xB – xB) et (yB -yA).

On considère dans un repère orthonormé (O, I, J)  les points A(1 ; 3) et B(3 ; − 1).

Calculer la distance AB.

On écrit la formule donnant la distance entre deux points : AB =

On remplace par les valeurs numériques : AB =

AB = √(4 + 4)
AB = √8

On simplifie :

AB = 2 √2

On obtient ainsi la valeur exacte de la longueur AB

On calcule la valeur approchée à l’aide de la calculatrice : AB = 2,83 arrondi au centième.