Les premiers exemples sans ambiguïté connus de documents écrits – datant de l’Égypte et de la Mésopotamie vers 3100 AVANT notre ÈRE – démontrent que les peuples anciens avaient déjà commencé à concevoir des règles mathématiques et des techniques utiles pour arpenter les terres, construire des bâtiments et mesurer des conteneurs de stockage. À partir du VIe siècle AVANT notre ÈRE , les Grecs ont rassemblé et étendu ces connaissances pratiques et à partir de là ont généralisé le sujet abstrait maintenant connu sous le nom de géométrie, à partir de la combinaison des mots grecs geo («Terre») et métron («mesure») pour la mesure de la terre.

En plus de décrire certaines des réalisations des anciens Grecs, notamment le développement logique de la géométrie par Euclide dans les éléments , cet article examine certaines applications de la géométrie à l’ astronomie , à la cartographie et à la peinture de la Grèce classique à l’ islam médiéval et à l’Europe de la Renaissance. Il se termine par une brève discussion sur les extensions des géométries non euclidiennes et multidimensionnelles à l’ère moderne.

Géométrie ancienne : pratique et empirique

L’origine de la géométrie réside dans les préoccupations de la vie quotidienne. Le récit traditionnel, conservé dans l’Histoire d’Hérodote (5e siècle AVANT notre ÈRE), attribue aux Égyptiens le MÉRITE d’inventer l’arpentage afin de rétablir la valeur des propriétés après l’inondation annuelle du Nil. De même, désir de connaître les volumes de chiffres solides issus de la nécessité d’évaluer l’hommage, de stocker le pétrole et le grain, et de construire des barrages et des pyramides. Même les trois problèmes géométriques abstrus de l’Antiquité – doubler un cube, trisecter un angle et quadriller un cercle, qui seront tous discutés plus tard – sont probablement nés de questions pratiques, de rituels religieux, de chronométrage et de construction., respectivement, dans les sociétés pré-grecques de la Méditerranée. Et le sujet principal de la géométrie grecque ultérieure, la théorie des sections coniques, doit son importance générale, et peut-être aussi son origine, à son application à l’optique et à l’astronomie.

Alors que de nombreux individus anciens, connus et inconnus, ont contribué au sujet, aucun n’a égalé l’impact d’Euclide et de son Éléments de géométrie, un livre vieux de 2300 ans et qui fait l’objet d’une étude aussi douloureuse et minutieuse que la Bible. On en sait beaucoup moins surEuclide , cependant, que sur Moïse. En fait, la seule chose connue avec un certain degré de confiance est qu’Euclide a enseigné à la Bibliothèque d’Alexandrie sous le règne de Ptolémée Ier (323-285 / 283 avant NOTRE ÈRE ). Euclide a écrit non seulement sur la géométrie mais aussi sur l’astronomie et l’optique et peut-être aussi sur la mécanique et la musique. Seuls les éléments , qui ont été largement copiés et traduits, ont survécu intacts.

Les Éléments d’Euclide étaient si complets et si clairement écrits qu’ils ont littéralement effacé le travail de ses prédécesseurs. Ce que l’on sait de la géométrie grecque avant lui vient principalement de bribes citées par Platon et Aristote et par des mathématiciens et commentateurs ultérieurs. Parmi les autres objets précieux qu’ils ont conservés, il y a quelques résultats et l’approche générale de Pythagore ( vers 580 – vers 500 avant NOTRE ÈRE ) et de ses disciples. leLes pythagoriciens se sont convaincus que toutes choses sont ou doivent leurs relations avec des nombres. La doctrine accordait aux mathématiques une importance suprême dans l’investigation et la compréhension du monde. Platon a développé un point de vue similaire et les philosophes influencés par Pythagore ou Platon ont souvent écrit avec extase sur la géométrie comme clé de l’interprétation de l’ univers . Ainsi, la géométrie ancienne s’est associée au sublime pour compléter ses origines terrestres et sa réputation d’exemple de raisonnement précis.

Trouver le angle droit

Les anciens constructeurs et géomètres devaient être capables de construire des angles droits sur le terrain à la demande. La méthode employée par les Égyptiens leur a valu le nom de «tireurs de corde» en Grèce, apparemment parce qu’ils employaient uncorde pour établir leurs directives de construction. Une façon qu’ils auraient pu utiliser une corde pour construire des triangles rectangles était de marquer une corde en boucle avec des nœuds de sorte que, lorsqu’elle était tenue aux nœuds et serrée, la corde devait former un triangle rectangle. Le moyen le plus simple d’effectuer le tour est de prendre une corde de 12 unités de long, de faire un nœud à 3 unités d’une extrémité et de 5 unités supplémentaires à l’autre extrémité, puis de nouer les extrémités ensemble pour former une boucle, comme indiqué dans le animation. Cependant, les scribes égyptiens ne nous ont pas laissé d’instructions sur ces procédures, encore moins la moindre indication qu’ils savaient les généraliser pour obtenir le théorème de Pythagore.: le carré sur la droite opposée à l’angle droit est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. De même, les écritures védiques de l’Inde ancienne contiennent des sections appelées sulvasutra s, ou «règles de la corde», pour le positionnement exact des autels sacrificiels. Les angles droits requis ont été réalisés par des cordes marquées pour donner les triades (3, 4, 5) et (5, 12, 13).

Dans les tablettes d’argile babyloniennes ( vers 1700–1500 avant NOTRE ÈRE), les historiens modernes ont découvert des problèmes dont les solutions indiquent que le théorème de Pythagore et certaines triades spéciales étaient connus plus de mille ans avant Euclide. Un triangle rectangle fait au hasard, cependant, est très peu susceptible d’avoir tous ses côtés mesurables par la même unité – c’est-à-dire, chaque côté un multiple entier d’une unité de mesure commune. Ce fait, qui a été un choc lorsqu’il a été découvert par les pythagoriciens, a donné naissance au concept et à la théorie de l’ incommensurabilité .

Localiser l’inaccessible

Par une ancienne tradition, Thalès de Milet , qui a vécu avant Pythagore au 6ème siècle AVANT notre ÈRE , a inventé un moyen de mesurer des hauteurs inaccessibles, telles que les pyramides égyptiennes. Bien qu’aucun de ses écrits ne survit, Thales peut bien avoir connu une observation babylonienne selon laquelle pour des triangles similaires (triangles ayant la même forme mais pas nécessairement la même taille) la longueur de chaque côté correspondant est augmentée (ou diminuée) du même multiple. Une détermination de la hauteur d’une tour à l’aide de triangles similaires est illustrée sur la figure. Les anciens Chinois arrivaient à des mesures de hauteurs et de distances inaccessibles par une autre route, en utilisant des rectangles «complémentaires», comme le montre la figure suivante , dont on peut montrer qu’ils donnent des résultats équivalents à ceux de la méthode grecque impliquant des triangles.

Estimer la richesse

Une tablette cunéiforme babylonienne écrite il y a environ 3500 ans traite des problèmes de barrages, de puits, d’horloges à eau et de fouilles. Il a également un exercice sur les enclos circulaires avec une valeur implicite de π = 3. L’entrepreneur pour la piscine du roi Salomon, qui a fait un étang de 10 coudées de diamètre et 30 coudées autour (1 Rois 7:23), a utilisé la même valeur. Cependant, les Hébreux auraient dû prendre leur π aux Egyptiens avant de traverser la mer Rouge , car leDerrière le papyrus (vers 2000 AVANT notre ÈRE ; notre principale source de mathématiques égyptiennes anciennes) implique π = 3.1605.

La connaissance de la zone d’un cercle était d’une valeur pratique pour les fonctionnaires qui ont gardé une trace de l’hommage du pharaon ainsi que pour les constructeurs d’autels et de piscines. Ahmes , le scribe qui a copié et annoté le papyrus Rhind ( vers 1650 avant NOTRE ÈRE ), a beaucoup à dire sur les greniers cylindriques et les pyramides, entières et tronquées. Il pouvait calculer leurs volumes et, comme il ressort de sa prise du seked égyptien , la distance horizontale associée à une élévation verticale d’une coudée, en tant que quantité déterminante pour la pente de la pyramide, il savait quelque chose sur des triangles similaires.

Géométrie ancienne : abstraite et appliquée

Les trois problèmes classiques

En plus de prouver les théorèmes mathématiques, les mathématiciens anciens ont construit divers objets géométriques. Euclide a arbitrairement limité les outils de construction à une règle (une règle non marquée) et une boussole. Cette restriction rendait trois problèmes particulièrement intéressants (doubler un cube, trisecter un angle arbitraire et quadriller un cercle) très difficiles – en fait, impossibles. Diverses méthodes de construction utilisant d’autres moyens ont été conçues à l’époque classique, et les efforts, toujours infructueux, utilisant la règle et la boussole ont persisté pendant les 2000 années suivantes. En 1837, le mathématicien français Pierre Laurent Wantzel a prouvé qu’il était impossible de doubler le cube et de trisecter l’angle, et en 1880 le mathématicien allemandFerdinand von Lindemann a montré que la quadrature du cercle est impossible, en conséquence de sa preuve que π est un nombre transcendantal.

Doubler le cube

Les Écritures védiques ont fait du cube la forme d’autel la plus recommandée pour quiconque voulait invoquer deux fois au même endroit. Les règles du rituel exigeaient que l’autel du deuxième plaidoyer ait la même forme mais deux fois le volume du premier. Si les côtés des autels d’origine et dérivés sont respectivement a et b , alors 3 = 2 3. Le problème est venu aux Grecs avec son contenu cérémoniel. Un oracle a révélé que les citoyens de Délos pouvaient se libérer d’un fléau simplement en remplaçant un autel existant par un autel deux fois sa taille. Les Déliens s’adressèrent à Platon. Il a répondu que l’oracle ne signifiait pas que les dieux voulaient un autel plus grand mais qu’ils avaient eu l’intention de «faire honte aux Grecs pour leur négligence des mathématiques et leur mépris de la géométrie». Avec ce mélange de pratique védique, de mythe grec et de manipulation académique, le problème de la duplication du cube a pris une place de premier plan dans la formation de la géométrie grecque.

Hippocrate de Chios , qui a écrit un des premiers éléments vers 450 avant NOTRE ÈRE , a fait les premiers pas pour résoudre le problème de l’autel. Il a réduit la duplication à trouver deux moyennes proportionnelles entre 1 et 2, c’est-à-dire à trouver les lignes x et y dans le rapport 1: x = x : y = y : 2. Après l’intervention de l’oracle de Delian, plusieurs géomètres autour de l’Académie de Platon ont trouvé des moyens compliqués de générer des moyennes proportionnelles.

Quelques générations plus tard, Eratosthène de Cyrène (c. 276 – c. 194 BCE) a conçu un instrument simple avec des pièces mobiles qui pourraient produire des moyennes approximatives proportionnelles.

Trisecting le angle

Les Egyptiens racontaient l’heure de nuit par le soulèvement de 12 astérismes (constellations), chacun nécessitant en moyenne deux heures pour se lever. Afin d’obtenir des intervalles plus convenables, les Egyptiens ont subdivisé chacun de leurs astérismes en trois parties, ou décans. Cela posait le problème de la trisection. On ne sait pas si le deuxième problème célèbre de la géométrie grecque archaïque, la trisection d’un angle donné, provenait de la difficulté du décan, mais il est probable qu’il provenait d’un problème de mesure angulaire.

Plusieurs géomètres de l’époque de Platon se sont essayés à la trisection. Bien que personne n’ait réussi à trouver une solution avec une règle et une boussole, ils ont réussi avec un appareil mécanique et par une astuce. L’appareil mécanique, peut-être jamais construit, crée ce que les anciens géomètres appelaient unquadratrix . Inventé par un géomètre appeléHippias d’Elis (fleurie du Ve siècle AVANT notre ÈRE), la quadratrice est une courbe tracée par le point d’intersection entre deux lignes mobiles, l’une tournant uniformément à angle droit, l’autre glissant uniformément parallèlement à elle-même.

L’astuce pour la trisection est une application de ce que les Grecs appelaient neusis , une manœuvre d’une longueur mesurée dans une position spéciale pour compléter une figure géométrique. Une version tardive de son utilisation, attribuée à Archimède (vers 285–212 / 211 avant NOTRE ÈRE ), illustre la méthode de la trisection d’angle. ( Voir Encadré: Trisection de l’angle: méthode d’Archimède.)

La quadrature du cercle

Les géomètres grecs pré-euclidiens ont transformé le problème pratique de la détermination de l’aire d’un cercle dans un outil de découverte. Trois approches peuvent être distinguées: l’esquive d’Hippocrate de substituer un problème à un autre; l’application d’un instrument mécanique, comme dans le dispositif d’Hippias pour trisecter l’angle; et la technique qui s’est avérée la plus fructueuse, l’approximation de plus en plus proche d’une magnitude inconnue difficile à étudier (par exemple, l’aire d’un cercle) par une série de grandeurs connues plus faciles à étudier (par exemple, les aires de polygones) – une technique connue dans les temps modernes comme le « méthode d’épuisement »et attribuée par son plus grand praticien, Archimède, à l’élève de PlatonEudoxe de Cnide ( vers 408– vers 355 avant NOTRE ÈRE ).

Bien qu’il ne soit pas en mesure de faire la quadrature du cercle, Hippocrate a démontré les quadratures des lunes; c’est-à-dire qu’il a montré que la zone entre deux arcs de cercle qui se croisaient pouvait être exprimée exactement comme une zone rectiligne et ainsi soulevé l’espoir que le cercle lui-même pouvait être traité de la même manière. Un contemporain d’Hippias a découvert que la quadratrice pouvait être utilisée pour presque rectifier les cercles. Ce sont les approches de substitution et mécaniques.

La méthode d’épuisement développée par Eudoxus se rapproche d’une courbe ou d’une surface en utilisant des polygones avec des périmètres et des surfaces calculables. Au fur et à mesure que le nombre de côtés d’un polygone régulier inscrit dans un cercle augmente indéfiniment, son périmètre et sa surface «épuisent» ou absorbent la circonférence et la surface du cercle à une erreur attribuable de longueur ou de surface, aussi petite soit-elle. Dans l’usage d’Archimède, la méthode d’épuisement produisait des bornes supérieures et inférieures pour la valeur de π, le rapport de la circonférence de tout cercle à son diamètre. Il a accompli cela en inscrivant un polygone dans un cercle et en circonscrivant un polygone autour de lui, délimitant ainsi la circonférence du cercle entre les périmètres calculables des polygones. Il a utilisé des polygones avec 96 côtés et donc lié π entre 3 dix / 71 et 3 une / 7 .

Idéalisation et preuve

Le dernier grand commentateur platonicien et euclidien de l’antiquité, Proclus ( c. 410-485 CE ), a attribué à l’inépuisable Thales la découverte de la proposition loin d’être évidente que même les propositions apparemment évidentes doivent être prouvées. Proclus se référait surtout au théorème, connu au Moyen Âge sous le nom de Pont des ânes, selon lequel dans un triangle isocèle les angles opposés aux côtés égaux sont égaux. Le théorème a peut-être gagné son surnom de la figure euclidienne ou de la notion de bon sens que seul un âne exigerait la preuve d’une affirmation aussi évidente.

Les géomètres grecs antiques suivirent bientôt Thalès sur le pont des ânes. Au Ve siècle AVANT notre ÈRE, le philosophe – mathématicien Démocrite (vers 460 – vers 370 AV.) a déclaré que sa géométrie surpassait toutes les connaissances des tireurs de corde égyptiens car il pouvait prouver ce qu’il prétendait. À l’époque de Platon, les géomètres prouvaient habituellement leurs propositions. Leur compulsion et la multiplication des théorèmes qu’elle produisit cadraient parfaitement avec l’interrogation sans fin de Socrate et la logique intransigeante d’Aristote. Peut-être faut-il chercher l’origine, et certainement l’exercice, de la méthode de preuve mathématique, particulièrement grecque, dans le même cadre social qui a donné naissance à la pratique de la philosophie, c’est-à-dire la polis grecque. Là, les citoyens ont appris les compétences d’une classe dirigeante, et les plus riches d’entre eux ont eu le loisir de s’engager à leur guise, si inutile que soit le résultat, tandis que les esclaves s’occupaient des nécessités de la vie. La société grecque pourrait soutenir la transformation de la géométrie d’un art pratique à une science déductive. Malgré sa rigueur, la géométrie grecque ne satisfait pas aux exigences du systématiste moderne. Euclide lui-même fait parfois appel àinférences tirées d’une compréhension intuitive de concepts tels que le point et la ligne ou à l’intérieur et à l’extérieur, utilise la superposition, etc. Il a fallu plus de 2000 ans pour purger les éléments de ce que les purs déductivistes considéraient comme des imperfections.

La synthèse euclidienne

Euclide, conformément à la logique consciente d’Aristote, a commencé le premier de ses 13 livres des Éléments avec des ensembles de définitions («une ligne est sans largeur»), des notions communes («le tout est plus grand que la partie») , et axiomes, ou postulats («tous les angles droits sont égaux»). De cette question préliminaire, le cinquième et dernier postulat, qui énonce une condition suffisante pour que deux lignes droites se rencontrent si elles sont suffisamment étendues, a reçu de loin la plus grande attention. En effet, il définit le parallélisme. De nombreux géomètres ultérieurs ont essayé de prouver le cinquième postulat en utilisant d’autres parties des éléments . Euclide a vu plus loin, pour des géométries cohérentes (appelées géométries non euclidiennes) peut être produit en remplaçant le cinquième postulat par d’autres postulats qui contredisent le choix d’Euclide.

Les six premiers livres contiennent l’essentiel de ce qu’Euclid offre sur la géométrie plane. Le livre I présente de nombreuses propositions découvertes sans doute par ses prédécesseurs, de l’égalité de Thales des angles opposés aux côtés égaux d’un triangle isocèle au théorème de Pythagore , par lequel le livre se termine effectivement. ( Voir l’ encadré: Moulin à vent d’Euclide .)

Le livre VI applique la théorie des proportions du livre V à des figures similaires et présente la solution géométrique aux équations quadratiques. Comme d’habitude, certains d’entre eux sont plus anciens qu’Euclid. Les livres VII-X, qui concernent diverses sortes de nombres, en particulier les nombres premiers, et diverses sortes de rapports, sont rarement étudiés maintenant, malgré l’importance du livre X magistral, avec sa classification élaborée de grandeurs incommensurables, pour le développement ultérieur de la géométrie grecque . ( Voir l’ encadré: Incommensurables .)

Les livres XI – XIII traitent des solides: XI contient des théorèmes sur l’intersection des plans et des droites et plans et des théorèmes sur les volumes des parallélépipèdes (solides avec parallélogrammes parallèles comme faces opposées); XII applique la méthode d’épuisement introduite par Eudoxe aux volumes des figures solides, y compris la sphère; XIII, un analogue tridimensionnel du livre IV, décrit les solides platoniciens . Parmi les joyaux du livre XII se trouve une preuve de la recette utilisée par les Égyptiens pour le volume d’une pyramide.

La gnomonique et le cône

Au cours de sa course quotidienne au-dessus de l’horizon, le Soleil semble décrire un arc de cercle. Fournissant dans son esprit la partie manquante du cercle quotidien , l’astronome grec pouvait imaginer que son œil réel était au sommet d’uncône , dont la surface était définie par les rayons du Soleil à différents moments de la journée et dont la base était définie par le cours diurne apparent du Soleil. Notre astronome, en utilisant le pointeur d’un cadran solaire, connu sous le nom de gnomon, comme son œil, générerait un second cône d’ombre s’étendant vers le bas. L’intersection de ce deuxième cône avec une surface horizontale, telle que la face d’un cadran solaire, donnerait la trace de l’image (ou de l’ombre) du Soleil pendant la journée sous la forme d’une section plane d’un cône. (Les intersections possibles d’un plan avec un cône, appelées sections coniques , sont le cercle, l’ellipse, le point, la ligne droite, la parabole et l’hyperbole.)

Cependant, les doxographes attribuent la découverte des sections coniques à un étudiant d’Eudoxe, Menaechmus (milieu du IVe siècle AVANT notre ÈRE ), qui les a utilisés pour résoudre le problème de la duplication du cube . Son approche restreinte des coniques – il ne travaillait qu’avec des cônes circulaires droits et faisait ses sections perpendiculairement à l’une des lignes droites composant leurs surfaces – était courante jusqu’à l’ époque d’ Archimède . Euclide a adopté l’approche de Menaechmus dans son livre perdu sur les coniques, et Archimède a emboîté le pas. Sans doute, cependant, tous deux savaient que toutes les coniques peuvent être obtenues à partir du même cône droit en autorisant la section à n’importe quel angle.

La raison pour laquelle le traité d’Euclide sur les coniques a péri est queApollonius de Perga ( vers 262 – vers 190 avant NOTRE ÈRE ) lui fit ce qu’Euclide avait fait à la géométrie du temps de Platon. Apollonius a reproduit les résultats connus de manière beaucoup plus générale et a découvert de nombreuses nouvelles propriétés des figures. Il a d’abord prouvé que toutes les coniques sont des sections de n’importe quel cône circulaire, droit ou oblique. Apollonius a introduit les termes ellipse , hyperbole et parabole pour les courbes produites en coupant un cône circulaire avec un plan à un angle inférieur, supérieur et égal, respectivement, à l’angle d’ouverture du cône.

Astronomie et trigonométrie

Calcul

Dans une utilisation inspirée de leur géométrie, les Grecs ont fait ce qu’aucun peuple antérieur ne semble avoir fait: ils ont géométrisé les cieux en supposant que le Soleil, la Lune et les planètes se déplacent autour d’une Terre stationnaire sur un cercle ou un ensemble de cercles en rotation , et ils calculé la vitesse de rotation de ces cercles suppositoires à partir des mouvements observés. Ainsi, ils attribuaient au Soleil un cercle excentrique à la Terre pour rendre compte des longueurs inégales des saisons.

Ptolémée (a prospéré 127–145 CE à Alexandrie, Egypte) a élaboré des ensembles complets de cercles pour toutes les planètes. Afin de rendre compte des phénomènes résultant du mouvement de la Terre autour du Soleil, le système ptolémaïque comprenait un cercle secondaire connu sous le nom d’épicycle, dont le centre se déplaçait le long du trajet du cercle orbital primaire, connu sous le nom de déférent. La grande compilation de Ptolémée , ouAlmagest, après sa traduction arabe, était à l’ astronomie ce que les éléments d’Euclide étaient à la géométrie. Contrairement aux éléments , cependant, l’ Almagest déploie la géométrie à des fins de calcul. Parmi les élémentsPtolémée calculés était une table d’accords, qui correspondent au sinus trigonométrique fonction plus tard introduite parmathématiciens indiens et islamiques. La table des accords a aidé au calcul des distances à partir des mesures angulaires comme un astronome moderne pourrait le faire avec la loi des sinus .

Épistémologie

L’application de la géométrie à l’astronomie a recadré la poursuite grecque éternelle de la nature de la vérité. Si une description mathématique correspondait aux faits, comme l’explique Ptolémée des longueurs inégales des saisons par l’excentricité de l’orbite du Soleil, faut-il considérer la description comme vraie de la nature? La réponse, de plus en plus insistante, était «non». Les astronomes ont remarqué que l’orbite excentrique représentant le mouvement annuel du Soleil pouvait être remplacée par une paire de cercles, un déférent centré sur la Terre et un épicycle dont le centre se déplaçait le long de la circonférence du déférent. Cela a donné deux théories solaires équivalentes en observation basées sur deux mécanismes bien différents. La géométrie était trop prolifique d’alternatives pour révéler les vrais principes de la nature. Les Grecs, qui avaient soulevé une science sublime à partir d’un tas de recettes pratiques, ont découvert qu’en inversant le processus, en réappliquant leurs mathématiques au monde, ils n’avaient aucune prétention plus sûre à la vérité que les tireurs de corde égyptiens.

Géométrie ancienne: cosmologique et métaphysique

Nombres de Pythagore et Solides platoniques

Les pythagoriciens ont utilisé des figures géométriques pour illustrer leur slogan que tout est nombre – d’où leurs «nombres triangulaires» ( n ( n −1) / 2 ), «nombres carrés» ( 2 ) et «nombres d’autel» ( 3 ), dont certains sont représentés sur la figure . Ce principe a trouvé une application sophistiquée dans l’histoire de la création de Platon, leTimée , qui présente les plus petites particules, ou «éléments», de la matière sous forme de figures géométriques régulières. Puisque les anciens reconnaissaient au plus quatre ou cinq éléments, Platon cherchait un petit ensemble d’objets géométriques définis de manière unique pour servir de constituants élémentaires. Il les a trouvés dans les seules structures tridimensionnelles dont les faces sont des polygones réguliers égaux qui se rencontrent à angles solides égaux: le tétraèdre, ou pyramide (à 4 faces triangulaires); le cube (avec 6faces carrées ); l’octaèdre (à 8 faces triangulaires équilatérales); le dodécaèdre (à 12 faces pentagonales); et l’icosaèdre (avec 20 faces triangulaires équilatérales).

La cosmologie du Timée a eu une conséquence de première importance pour le développement de l’astronomie mathématique. Il a guidé Johannes Kepler (1571–1630) à sa découverte de lalois du mouvement planétaire . Kepler a déployé les cinq solides platoniques réguliers non pas comme des indicateurs de la nature et du nombre des éléments, mais comme un modèle de la structure des cieux. En 1596, il publia Prodromus Dissertationum Mathematicarum Continens Mysterium Cosmographicum («Mystery Cosmographic»), dans lequel chacune des six planètes connues tournait autour du Soleil sur des sphères séparées par les cinq solides platoniques, comme le montre la photographie. Bien que Tycho Brahe(1546-1601), le plus grand astronome d’observation du monde avant l’invention du télescope, a rejeté le modèle copernicien du système solaire, il a invité Kepler à l’aider à son nouvel observatoire à l’extérieur de Prague. En essayant de résoudre les divergences entre sa théorie originale et les observations de Brahe, Kepler a fait la découverte capitale que les planètes se déplacent en ellipses autour du Soleil en tant que foyer.

Mesurer la Terre et les cieux

La géométrie offrait aux cosmologistes grecs non seulement un moyen de spéculer sur la structure de l’ univers mais aussi les moyens de la mesurer. Au sud d’Alexandrie et à peu près sur le même méridien de longitude se trouve le village de Syene (moderne Aswān), où le Soleil se dresse directement au-dessus de nous à midi un jour d’été. Au même moment à Alexandrie, les rayons du Soleil font un angle α avec la pointe d’une tige verticale, comme le montre la figure . Puisque les rayons du soleil tombent presque parallèlement sur leTerre , l’angle sous-tendu par l’arc l (représentant la distance entre Alexandrie et Syène) au centre de la Terre vaut également α; ainsi le rapport de la circonférence de la Terre, C , à la distance, l , doit être égal au rapport de 360 ​​° à l’angle α – en symboles, C : l = 360 °: α.Ératosthène a fait les mesures, obtenant une valeur d’environ 5 000 stades pour 1 , ce qui a donné une valeur pour la circonférence de la Terre d’environ 250 000 stades. Parce que la longueur acceptée du stade grec varie localement, nous ne pouvons pas déterminer avec précision la marge d’ erreur d’Eratosthène . Cependant, si nous créditons la supposition de l’historien antique Plutarque à l’unité de longueur d’Eratosthène, nous obtenons une valeur pour la circonférence de la Terre d’environ 46250 km – remarquablement proche de la valeur moderne (environ 15% trop grande), compte tenu de la difficulté à mesurer avec précision l et α. ( Voir l’ encadré: Mesurer la Terre, classique et arabe .)

Aristarque de Samos ( vers 310–230 avant NOTRE ÈRE ) s’est MÉRITÉ le mérite d’avoir étendu l’emprise du nombre jusqu’au Soleil. Utilisant la Lune comme règle et notant que les tailles apparentes du Soleil et de la Lune sont à peu près égales, il a calculé les valeurs de son traité «Sur les tailles et les distances du Soleil et de la Lune». La grande difficulté de faire les observations a entraîné une sous-estimation de la distance solaire d’environ 20 fois – il a obtenu une distance solaire, σ, environ 1 200 fois le rayon de la Terre, r . Peut-être que l’enquête d’Aristarque sur les tailles relatives du Soleil, de la Lune et de la Terre l’a conduit à proposer le premier modèle héliocentrique («centré sur le Soleil») de l’univers.

La valeur d’Aristarque pour la distance solaire a été confirmée par une étonnante coïncidence. Ptolémée a assimilé la distance maximale de la Lune sur son orbite excentrique à l’approche la plus proche de Mercure sur son épicycle; la distance la plus éloignée de Mercure avec la plus proche de Vénus; et le plus éloigné de Vénus avec le plus proche du Soleil. Ainsi, il pouvait calculer la distance solaire en termes de distance lunaire et de là, le rayon terrestre. Sa réponse concordait avec celle d’Aristarque. La conception ptolémaïque de l’ordre et de la machinerie des planètes, l’application la plus puissante de la géométrie grecque au monde physique, ainsi corroboréele résultat de la mesure directe et établi les dimensions du cosmos depuis plus de mille ans. Comme l’ont dit les anciens philosophes, il n’y a pas de vérité en astronomie.