I.      Enoncé du théorème de Thalès

Soient (d) et (d ‘) deux droites sécantes en  A; B et deux points de (d) distincts de A; C et N deux points de (d ‘)

distincts de A. Si les droites (BC) et (MN)  sont parallèles, alors : 

Cette relation constitue le théorème de Thalès.

Dans les deux cas, les points A, B et M; et les points  A, et N sont alignés dans le même ordre.

II.          Application au triangle

Soit un triangle ABC  et (D) une droite parallèle à la droite (BC)  qui coupe les droites (AB)  et (AC)  respectivement en B‘ et C ‘.

Il y a trois possibilités, la droite (D) passe à l’intérieur du triangle figure 1, ou à l’extérieur du triangle figures 2 et 3 :

 

D’après le théorème de Thalès on a : 

On retrouve un résultat déjà connu, le théorème de la droite des milieux. Dans ce cas on a : 

III.              Réciproque du théorème de Thalès

Soient (d) et (d ‘) deux droites sécantes en  A; B et deux points de (d) distincts de A; C et N deux points de (d ‘)

distincts de A. Si  et si les points AB, et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Les points A, B et M et les points A, C et N doivent obligatoirement être placés dans le même ordre. Cas du triangle :

Voir figure1, figure2 et figure3.

alors les droites (BC ‘) et (BC) sont parallèles.

IV.               Applications

Calculer une longueur

Sur la figure ci-contre les droites (D) et (BC) sont parallèles. On donne BC  = 6 cm, BC ‘ = 4 cm et  AB = 9 cm.

Calculer AB

Les droites (D) et (BC) sont parallèles, donc on peut utiliser le théorème de Thalès.

On écrit l’égalité des rapports : 

Dans cette relation on connaît les longueurs BC, BC ‘ et AB, pour calculer AB‘ on garde la dernière égalité et en remplaçant par les valeurs numériques on obtient : 

Démontrer que deux droites sont parallèles ou non

Sur la figure ci-contre on donne OA = 2,4 cm, OB = 3 cm, OC = 2 cm et OD = 2,5 cm.

Démontrer que les droites (AC)  et (DB) sont parallèles.

Ces rapports sont égaux et les points A, O, B et C, O, D étant alignés dans le même ordre, d’après la réciproque du théorème de Thalès on peut conclure : les droites (AC) et (DB) sont parallèles.

Placer des points sur un segment, une droite 

Soit un segment [AB]. Placer sur ce segment le point M tel que  AM / AB = 2/5  en utilisant comme seuls outils une

règle non graduée et un compas. Expliquer la construction.

On trace le segment [AB] puis la demi-droite [Ax) d’origine A. A l’aide du compas, on trace 5 segments consécutifs de même longueur sur [Ax).

On place les points M ‘  et B‘ tels que AM ‘ = 2 divisions et  AB‘ = 5 divisions.

On trace la droite (BB‘)  puis la parallèle à (BB‘) passant par M ‘. On obtient ainsi le point tel que AM = 2/5 AB

Les droites (BB‘) et (MM‘) sont parallèles, donc on peut appliquer le théorème de Thalès : 

en effet par construction AM ‘ = 2 et AB‘ = 5.