Suites proportionnelles

Définition

Deux suites de nombres sont proportionnelles si on passe de l’une à l’autre en multipliant les nombres de la première suite par un même nombre appelé coefficient de proportionnalité a . Deux suites proportionnelles à une même troisième sont proportionnelles entre elles.

Représentation graphique

Dans le plan muni d’un repère orthonormé la représentation graphique de deux suites proportionnelles est une droite qui passe par l’origine. En abscisses on a les nombres d’une des deux suites et en ordonnées les nombres de la
deuxième.

Proportions

Tableau de proportionnalité

C’est un tableau à deux lignes dans lequel les nombres de la deuxième ligne sont obtenus en multipliant les nombres de la première ligne par le coefficient de proportionnalité.

Reconnaître une proportion

Quatre nombres a, b et c, d forment une proportion si on a les relations suivantes :
ka = c et kb = d ou ad = bc ou =(b/d)

Quatrième proportionnelle

C’est le nombre manquent dans un tableau de proportionnalité de quatre nombres .

Anne a acheté 1,1 kg de cerises et a payé 6,49 euros, sa voisine Marine en a acheté 1,4 kg. Combien Marine doit-elle payer, sachant que les prix sont proportionnels aux masses ?

Première méthode : tableau de proportionnalité
Soit x le prix payé par Marine

x== 8,26

Deuxième méthode : retour à l’unité

1,1 kg coûte 6,49 euros
1 kg coûte (6,49/1,1) euros
1,4 kg coûte (6,49/1,1)×1,4 euros

Marine doit payer 8,26 euros.

Applications de la proportionnalité

Vitesse

Définition

La vitesse est la distance parcourue par unité de temps. L’unité légale est le « mètre seconde », m/s ou m.s−1.

Vitesse moyenne

La durée du trajet t et la distance d sont des grandeurs proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse v : d = vt

Pourcentages

Appliquer un pourcentage

Calculer un pourcentage t c’est multiplier un nombre par (t/100). (t/100) est un coefficient de proportionnalité.

2. Retrouver une valeur initiale

Un commerçant fait une remise de 5% sur ses livres. J’achète un livre et j’obtiens une réduction de 2 euros. Quel était le prix initial du livre ?

Soit p le prix initial recherché, on a : p×(5/100)= 2,

d’où : p = 2×(100/5)= 40 euros.

Calculer un pourcentage

Un commerçant fait une remise de 20 euros sur un article de 175 euros. Quel est le pourcentage de la remise ?

On appelle r la remise en pourcentage.

r = 20/175×100 ≈11,4%, arrondi au dixième.

Obtenir un pourcentage après réunion de deux groupes

Une pâte d’amande A contient 40% de sucre, et une pâte d’amande B contient 30% de sucre. On mélange 150 grammes de la pâte d’amande A avec 100 grammes de la pâte d’amande B. Quel sera le pourcentage de sucre dans le mélange obtenu ?

150 g de pâte d’amande A contiennent ((40×150)/100) 60 g de sucre.
100 g de pâte d’amande B contiennent ((30×100)/100) 30 g de sucre.
250 g (150 + 100) de mélange contiennent (60 + 30) 90 g de sucre.
Le mélange contient (90×100)/250 = 36% de sucre.

Echelle

L’échelle d’une carte est 1 / 10000, se lit « un dix millième ».
C’est à dire que 1 cm sur la carte représente 10000 cm = 1 km sur le terrain.

Indice

Un bungalow à la mer se loue pour une semaine à différents tarifs selon la saison. L’indice du coût de la location base 100 est 250 euros.

Calculer le coût de la location indice 80, 90, 110, 120.

indice 80 : coût =(250×80)/100 = 250×0,8 = 200
indice 90 : coût = 250×0,9 = 225
indice 110 : coût = 250×1,1 = 275
indice 120 : coût = 250×1,2 = 300

Autres exemples de grandeurs quotients

Ce sont des unités exprimées sous forme de quotient, comme la vitesse. Il existe aussi des unités produits, par exemple le kilowattheure en électricité.

Consommation d’essence

Une voiture consomme 7 litres d’essence aux 100 kilomètres, combien consommera-t-elle pour parcourir 50 kilomètres ?

On dresse un tableau de proportionnalité :

x = (7×50)/100 = 3,5 litres.

Débit d’un robinet

Le débit peut s’exprimer en litres par minute, le débit d’un fleuve s’exprimera en m 3 /s ou m 3 s-1. On a rempli un seau de 10 litres en 25 secondes. Calculer le débit du robinet qui a permis de remplir le seau (en l/min).

Il faut calculer le nombre de litres délivré en 1 min soit 60 sec. :
(10×60)/25 = 24 l/min.

Concentration d’une solution

Le nombre d’ions contenus dans un litre de solution, la quantité de sucre (ou de sel) en grammes contenu dans un litre de boisson par exemple. Très utilisé en chimie.

Masse volumique

Pour un corps homogène, le volume et la masse sont des grandeurs proportionnelles, le coefficient de proportionnalité est appelé masse volumique.

Une unité usuelle de masse volumique est le gramme par centimètre cube, noté g/cm 3 ou g.cm -3.