Développements – Factorisations

Définition

Pour développer une expression algébrique on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (et à la soustraction).
a(b + c) = ab + ac
a(b – c) = ab – ac
(b + c)a = ba + ca
(b – c)a = ba – ca

Pour factoriser une expression algébrique il faut trouver le ou les facteurs communs à chacun des termes de la somme algébrique.

Développer c’est remplacer un produit par une somme qui lui est égale.

Développer 3(x + 2y)
3(x + 2y) = 3x + 3×2y, soit 3 (x + 2y ) = 3x + 6y .

Après avoir développé une expression on a souvent besoin de la réduire (c’est à dire calculer, en les regroupant, les termes d’une même variable et d’une même puissance ) et de l’ordonner suivant les puissances croissantes (ou décroissantes).

Développer réduire et ordonner (x + 3 )(x – 2 )
(x + 3 )(x – 2 ) = x
2 + 2x + 3x – 6
Pour réduire on effectue la somme 2x + 3x
(x + 3) (x – 2) = x2+ 5x – 6 . L’expression est déjà ordonnée.

Factoriser c’est remplacer une somme par un produit qui lui est égal.

Factoriser en mettant en évidence un facteur commun

On repère chaque terme de la somme, puis on cherche un facteur commun.
Factoriser 4x2 y + 2xy2
On peut mettre 2, x et y en facteur, donc on met 2xy en facteur et dans la parenthèse on place ce qui reste.
4x2 y + 2xy2 = 2xy ( 2x + y).

Il doit y avoir dans la parenthèse autant de termes qu’il y en avait dans l’expression donnée.

Si L’expression donnée comporte deux termes alors il y a deux termes à l’intérieur de la parenthèse.

Pour vérifier qu’une factorisation est bonne on peut soit développer l’expression factorisée soit calculer l’expression donnée et l’expression factorisée pour des valeurs simples de x. Par exemple x = 1. Ne pas prendre x = 0 car il ne resterait que les termes constants et le résultat serait faussé.

Factoriser A = (x + 2)2 – (x + 2) (2x – 1) + (x + 2)
On remarque que ( x + 2 ) est le facteur commun. On le met en évidence par exemple en le soulignant :

On remplace ( x + 2 ) par 1×( x + 2 ) dans le troisième terme pour faire apparaître le facteur 1 :
A = ( x + 2 )[ ( x + 2 ) – ( 2x – 1 ) + 1 ]
On développe et réduit l’intérieur du crochet :
A = ( x + 2 )[ x + 2 – 2x + 1 + 1 ]

A = ( x + 2 ) ( -x + 4 ) .

Identités remarquables

Carré d’une somme

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Le carré d’une somme est égal à la somme des carrés et du double produit.

Carré d’une différence

( a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Le carré d’une différence est égal à la somme des carrés moins le double produit.

Différence de deux carrés

Produit de la somme et de la différence

( a + b)( a – b) = a2 – b2

Factoriser x2 – 2x + 1

Aucun facteur commun n’apparaît dans cette expression, on cherche alors une identité remarquable. On regarde les trois produits remarquables donnés en cours, on compare avec l’énoncé. L’expression comporte trois termes, on pense à l’un des deux premiers types : carré d’une somme ou carré d’une différence.

Le terme du milieu est précédé du signe – , on pense donc au carré d’une différence :
( a – b)2 = a2 – 2ab + b2.

Premier terme : carré du premier terme : x2
Deuxième terme : double produit précédé du signe – : -2×x×1 = – 2x
Troisième terme : carré du deuxième terme : 12 = 1
x2– 2x + 1 = (x)2 – 2×x×1 + (1)2
d’où la factorisation :
x2– 2x + 1 = (x – 1)2.

Dans les exercices l’expression à factoriser n’est pas toujours réduite et ordonnée, penser à le faire avant d’envisager toute factorisation.

Factoriser (x + 2)2 – 9
Les termes de cette expression ne comportent pas de facteur commun, on cherche alors une identité
remarquable. Cette expression fait penser à a2 – b2 en prenant a2 = (x + 2)2 et b2 = 9 = 32
(x + 2)2 – 9 = (x + 2)2 – 32
On factorise sous la forme (a + b)(a – b)
(x + 2)2 – 9 = [ (x + 2) + 3 ][ (x + 2) – 3]
On réduit à l’intérieur des crochets :
(x + 2)– 9 = (x + 2 + 3)(x + 2 – 3)
( x + 2 )2 – 9 = (x + 5) (x – 1) .