Puissance d’un nombre a

La notation an

Puissance d’exposant entier positif : n > 0

Soit a un entier relatif et n un entier supérieur ou égal à 2 : an = a×a×a……×a (produit de n facteurs égaux à a).

Cas particuliers :

a1 = a

a0 = 1
0n = 0 ( n≠0 )

0 n’a pas de sens.

Puissances d’exposant entier négatif : n < 0

Soit a un nombre quelconque non nul et n un entier naturel : a-n=.

Cas particuliers : a-1 = (1/a), a-1 désigne l’inverse de a.

Cas des nombres en écriture fractionnaire

Signe du résultat

Toute puissance d’un nombre positif est un nombre positif. Toute puissance paire d’un nombre négatif est un nombre positif. Toute puissance impaire d’un nombre négatif est un nombre négatif.

Opérations sur les puissances

Pour tous les nombres relatifs non nuls a et b et pour tous les nombres entiers n et p on a :

                                       

En général le nombre an + b n n’est pas égal à ( a + b)n.

A vos calculatrices

La touche  permet de calculer le carré d’un nombre.
La touche  permet de calculer toutes les puissances.
La touche  donne la racine carrée d’un nombre positif ou une valeur approchée.
Se reporter au manuel d’utilisation de la calculatrice pour connaître la façon de procéder.
Rappels : Pour tous les entiers relatifs positifs a et n : Si a = √n alors a2 = n.
(√n)2 = n et √n2 = n.

Puissances de 10

La notation 10n

Ecriture décimale

10n = 1000……….0 (n zéros).
10-n = 0,000……….01 (n zéros).

Notation scientifique

x = a, …×10n avec a entier compris entre 1 et 9.

N = 345,7 = 3,457×10 en notation scientifique.

La notation ingénieur

x = a, …×103n, n est un entier et a est compris entre 1 et 999.

Opérations sur les puissances de 10

Multiplier et diviser les puissances de 10

Les puissances de 10 obéissent aux mêmes règles de calcul que les autres puissances.
10n ×10p = 10n+p

Multiplier un nombre décimal par une puissance de 10

Cela revient à déplacer la virgule en complétant au besoin par des zéros.

Cas où l’exposant est positif : On délpace la virgule vers la droite.
Cas où l’exposant est négatif : On délpace la virgule vers la gauche.

Calculatrices et puissances de 10

Lire un nombre sur la calculatrice et l’écrire sous forme décimale

La calculatrice affiche la partie décimale x et l’exposant n de la puissance de 10.

Utilisation de la touche 

Sur certaines calculatrices cette touche est notée  ou .

Utiliser la calculatrice pour un calcul en notation scientifique

A l’aide de la calculatrice calculer 

On calcule le numérateur puis on divise par le dénominateur en mettant des parenthèses autour du
dénominateur : N = 2,7×109 ÷(2,3×107 + 7×106).

Valeurs approchées

Ordre de grandeur : La notation scientifique permet de donner l’ordre de grandeur d’un nombre.

Encadrement : Dans certains calculs, on se contente de donner le résultat par un encadrement.

Donner un encadrement à 10-2 près de 28pπ.

La calculatrice donne 28π ≈ 87,964594.

Un encadrement à 10-2 près de 28π est : 87,96 < 28π < 87,97 à 10-2 près.

Priorités dans un calcul

On calcule d’abord les puissances, les multiplications et les divisions puis les additions et les soustractions.