Ordre – Inégalités – Encadrements

Publié le : 29 janvier 20186 mins de lecture

Comparaison de deux nombres

Comparaison de deux nombres positifs

Rappels

Soit deux nombres positifs entiers ou décimaux, le plus grand est celui qui a la valeur la plus grande.

Comparaison de deux nombres en écriture fractionnaire

Les nombres ont le même dénominateur :

ils sont rangés dans le même ordre que leurs numérateurs.

Les nombres ont des dénominateurs différents :

on les réduit au même dénominateur.

Les nombres ont le même numérateur :

ils sont rangés dans l’ordre inverse de leurs dénominateurs.

Utilisation d’un nombre intermédiaire :

si a ≤ b et b ≤ c alors a ≤ c,

si a ≥ b et b ≥ c alors a ≥ c.

Utilisation des valeurs décimales :

à la calculatrice on cherche une valeur décimale exacte ou approchée de chacun des nombres.

Comparer                                                                                  La calculatrice donne 

                                                                                                                     Or  

Comparaison de nombres de signes quelconques

Rappels

S’ils sont de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif. S’ils sont de même signe, on regarde leurs valeurs numériques. Les nombres négatifs sont rangés dans l’ordre inverse de leurs valeurs numériques.

Calcul de leur différence

Soient a et b deux nombres quelconques :
si a ≥ b alors a – b ≥ 0 et réciproquement :
si a – b ≥ 0 alors a ≥ b.

La droite graduée

Les nombres peuvent être rangés sur un axe orienté :

Comparer 2π – 1 et 3π – 4.                                                               ( 2π – 1 ) – ( 3π – 4 ) = 2π – 1 – 3π + 4 = – π + 3
or -π + 3 < 0, donc ( 2π – 1 ) – ( 3π – 4 ) < 0, d’où
( 2π – 1 ) < ( 3π – 4 )

Ordre et opposé

Les opposés de deux nombres sont rangés dans l’ordre inverse des nombres eux-mêmes.

Ordre et invers

Les inverses de deux nombres sont rangés dans l’ordre inverse des nombres eux-mêmes.

Effet de l’addition et de la multiplication sur l’ordre

Ordre et addition

Propriétés des inégalités

On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres d’une inégalité sans changer cette inégalité.

Somme d’inégalités

On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens. Ne jamais retrancher deux inégalités.

Ordre et multiplication

Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une inégalité de même sens.

Lorsqu’on multiplie ou divise les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire.

Encadrements

Encadrer à partir d’une troncature

Troncature

Pour donner la troncature d’un nombre on ne tient pas compte des chiffres que l’on supprime.

Encadrement

Soit T la troncature d’un nombre positif n au centième, alors : T ≤ n < T + 0,01. L’amplitude de l’encadrement c’est la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure.

Donner un encadrement au centième du nombre π                           La troncature au centième de π est 3,14
donc on a : 3,14 ≤ π < 3,14 + 0,01
d’où 3,14 ≤ π < 3,15

Encadrer à partir d’un arrondi

Arrondi

Pour donner l’arrondi d’un nombre on regarde la valeur du premier chiffre supprimé :

• si le premier chiffre supprimé est 0, 1, 2, 3,ou 4 on écrit le nombre sans rien changer,
• si le premier chiffre supprimé est 5, 6, 7, 8 ou 9 il faut augmenter d’une unité le dernier chiffre conservé.

Encadrement

Si A est l’arrondi d’un nombre positif n au centième, alors : 

On sait que l’arrondi au dixième d’un nombre n est 4,7. En déduire un encadrement de n. Les nombres dont l’arrondi est 4,7 sont compris entre 4,65 et 4,75. D’où l’encadrement : 4,65 ≤ n < 4,75 .

Utiliser les propriétés des inégalités pour les encadrements

Donner un encadrement de 2x + 9 sachant que 0,5 < x < 0,6.

• On multiplie l’encadrement de x par 2 : 0,5£2 < 2x < 0,6£2.
• On obtient un encadrement de 2x : 1 < 2x < 1,2.
• On ajoute 9 à cet encadrement : 1 + 9 < 2x + 9 < 1,2 + 9.
• On obtient un encadrement de 2x + 9 : 10 < 2x + 9 < 10,2 .

Approximation d’un nombre positif

Donner un encadrement de √6.

• On tape √6 sur la calculatrice et on a : 2,4494897.
• On en déduit un encadrement : 2,44 ≤ √6 ≤ 2,45. On dit que 2,44 est la valeur par défaut de √6 et 2,45 est la valeur par excès de √6.