Définitions

Vecteurs

Deux points A et B pris dans cet ordre représentent un vecteur . On note  =

: la translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur  ou de vecteur .

Le vecteur  est caractérisé par :

  • sa direction qui est celle de la droite ( AB) ;                       
  • son sens : de A vers B ;
  • sa longueur : la longueur du segment [ AB].

Égalité de deux vecteurs

On dit que deux vecteurs   et  sont égaux si :

  • les droites ( AB) et ( CD) qui portent les vecteurs sont parallèles ;
  • les longueurs sont égales : AB = CD ;
  • les vecteurs ont même sens.

               

Translation d’un point

Soient le vecteur  et le point C.

Le point D tel que  = est le translaté du point C dans la translation de vecteur .

=  signifie que D est l’image de C dans la translation de vecteur .

On dit que les vecteurs  et   sont colinéaires.

= signifie que B est le milieu de [ AC].

Translation d’une figure

La figure F’ translatée de la figure F dans la translation de vecteur  est superposable à la figure F :
c’est à dire qu’elle a les mêmes mesures que la figure F.                

Somme de deux vecteurs : Relation de Chasles

Soient deux vecteurs  et  et un point A

En A on trace le vecteur  colinéaire au vecteur  et en B, on trace le vecteur  colinéaire au vecteur .

                                                                                   

Les vecteurs  et  sont des vecteurs opposés, on a :

=-                        

Le vecteur nul est un vecteur dont son origine et son extrémité sont confondues.

Simplifier la somme vect orielle : 

D’après la relation de Chasles on a : ,

la somme devient :                          

Or d’après la relation de Chasles , d’où :

=

Composée de deux translations

Effectuer la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur  revient à effectuer la translation de vecteur .                                            
La composée de deux translations est une translation dont le vecteur est la somme des vecteurs des deux translations.

Composée de deux symétries centrales

La symétrie de centre A suivie de la symétrie de centre B est équivalente à la translation de vecteur 2

Dans la symétrie de centre A, le point M a pour image le point M’.

Dans la symétrie de centre B, le point M’ a pour image le point M ».                     

Le point M a pour image le point M’ ‘ dans la translation de vecteur 2.

Vecteurs et parallélogramme

Définition vectorielle du parallélogramme

Si un quadrilatère ABCD est un parallélogramme alors =         

Réciproquement : si un quadrilatère ABCD est tel que =  alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Règle du parallélogramme

Si ABCD est un parallélogramme alors

Réciproquement : Soient quatre points non alignés A, B, C et D tels que  alors ABCD est un parallélogramme et [ AC] est une diagonale.

Représentation de la somme 

Pour représenter le vecteur somme , il suffit de construire le parallélogramme ABCD.

On a alors :