Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Définitions

Soit un triangle ABC rectangle en C. Dans ce triangle on a les relations suivantes :
 où AC est la mesure du côté de l’angle droit adjacent à l’angle et AB la mesure de l’hypoténuse.
  où BC est la mesure du côté de l’angle droit opposé à l’angle .

On considère l’angle , on a :               On voit que :

  • Le sinus et le cosinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1.

Si deux angles sont complémentaires le sinus de l’un est égal au cosinus de l’autre :
cos α= sin (90 – α) sin α = cos (90 – α)

Relations trigonométriques

Relation fondamentale de la trigonométrie

Pour tout angle aigu de mesure a on a :

Relation entre cosinus, sinus et tangente

A vos calculatrices

Sur les calculatrices scientifiques il existe des touches  ,  qui donnent les valeurs des cosinus, sinus et tangente des angles.

Trouver la valeur du cosinus, du sinus et de la tangente d’un angle.

Mettre la calculatrice en mode degré. Afficher la valeur de l’angle dont on veut le cosinus puis presser la touche  : s’affiche alors la valeur du cosinus de cet angle.

Pour calculer la valeur du sinus ou de la tangente d’un angle il faut suivre les indications précédentes en remplaçant la touche  par les touches  ou  selon que l’on souhaite la valeur du sinus ou de la tangente.

Trouver la valeur d’un angle connaissant son cosinus, sinus ou tangente

On veut trouver l’angle dont on connaît le cosinus :

On tape la valeur du cosinus :

puis les touches  et  la valeur de l’angle s’affiche alors. On procède de la même manière pour trouver la valeur d’ un angle dont on connaît le sinus ou la tangente, on remplace la touche  par la touche  ou .

Certaines calculatrices fonctionnent différemment, se référer au mode d’emploi de votre calculatrice pour connaître la manière dont il faut procéder.

Quelques valeurs remarquables (et courantes)

Applications

Calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en C. On donne AC = 4 cm et 

Calculer la longueur du côté [ BC].                                             

On est dans un triangle rectangle, on connaît la valeur d’un angle et la longueur du côté adjacent. Le côté cherché est opposé à l’angle. On va donc utiliser la tangente de l’angle .

, la calculatrice donne tan 30 ± = 0,577.

On a donc ,  d’où : BC = 4×0,577 = 2,3 cm à 0,1 cm près.

Calculer la valeur des angles dans un triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en C. On donne AB = 4 cm et BC = 3 cm.
Calculer la valeur de l’angle                                                                            

On est dans un triangle rectangle et on connaît la longueur de l’hypoténuse et
la longueur du côté de l’angle droit adjacent à l’angle cherché. On peut donc calculer le cosinus de l’angle  et on a :   , la calculatrice donne : = 41,409..° soit : = 41,4° à 0,1° près.