Diviseurs communs

Définition

Soient a et q deux entiers avec q ≠ 0, lorsque  est un entier on dit que q est un diviseur de a : alors le reste de la division de a par q est égal à 0. On dit aussi que a est un multiple de q ou que a est divisible par q.

Tout entier naturel a non nul est un diviseur de 0 : 0÷a = 0. Tout entier naturel a non nul est un diviseur de lui-même : a÷a = 1.
1 est diviseur de tout entier naturel a : a÷1 = a.

Diviseurs communs à deux entiers

Soit deux entiers a et b divisibles par un même entier non nul q, alors q est un diviseur commun de a et de b. Tout nombre entier a supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

Si un diviseur d’un nombre a a lui-même un diviseur, alors ce diviseur est aussi un diviseur de a.

Critères de divisibilité

Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est : 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.

Un entier naturel est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Un entier naturel est divisible par 4 si son chiffre des dizaines et son chiffre des unités forment un nombre divisible par 4 ou s’il est divisible deux fois par 2.

Un entier naturel est divisible par 5 si son chiffre des unités est : 0 ou 5.

Un entier naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 ou s’il est divisible deux fois par 3.

Un entier naturel est divisible par 25 s’il se termine par 00 ou 25 ou 50 ou 75 ou s’il est divisible deux fois par 5.

Si un nombre est divisible par deux entiers alors il est divisible par leur produit.

Nombres premiers entre eux

Deux entiers naturels qui n’ont pas d’autres diviseurs communs que 1 sont premiers entre eux.

PGCD

Définition

Le PGCD c’est le plus grand diviseur commun aux deux nombres.

Diviseurs de 24 : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 et 24.

Diviseurs de 36 : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.

24 et 36 ont six diviseurs communs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Le plus grand d’entre eux est 12, c’est le PGCD de 24 et 36. PGCD (24 ; 36) = PGCD (36 ; 24) = 12.}

Propriétés

  • PGCD ( a ; b) = PGCD ( b ; a).
  • Si a est un diviseur de b, alors PGCD ( a ; b ) = a.
  • Pour a > b, PGCD ( a ; b ) = PGCD ( a – b ; b ).
  • Si PGCD ( a ; b ) = 1, a et b sont premiers entre eux.

PGCD ( 1 ; a ) = 1
PGCD ( a ; a ) = a

Calculer le PGCD de deux nombres

Méthode par soustractions successives

On remplace le calcul du PGCD de a et b par le PGCD de a et b – a ou celui de b et a – b. Calculer le PGCD de 110 et 165
On prend les deux nombres et on les soustrait : 165 – 110 = 55
On prend les deux plus petits et on recommence : 110 – 55 = 55
On s’arrête lorsqu’on obtient deux nombres égaux.
Le PGCD est le résultat de la dernière soustraction. PGCD ( 110 ; 165 ) = 55 .

Méthode de l’algorithme d’Euclide ( méthode de la division )

On reprend l’exemple précédent : calcul du PGCD de 110 et 165. On divise le plus grand nombre par le plus petit : 165÷110 = 1 reste 55                                                              

On divise le diviseur par le reste de la division :
110÷55 = 2 reste 0                                                                   

Fractions irréductibles

Définition

Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, on dit que cette fraction est irréductible. Cela signifie que l’on ne peut plus la simplifier.

Rendre une fraction irréductible

Pour rendre la fraction  irréductible, il suffit de simplifier cette fraction par PGCD ( a ; b ).

Reconnaître une fraction irréductible

Dire qu’une fraction est irréductible, c’est dire que son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Pour savoir si le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, il suffit de calculer le PGCD de ces deux nombres, si le PGCD est égal à 1 alors les deux nombres sont premiers entre eux et la fraction est irréductible.