Fonctions affines

Définitions

Soient a et b deux réels. La fonction f définie sur ℝ par f( x) = ax + b est une fonction affine. a est appelé coefficient directeur ou pente et b est l’ordonnée à l’origine.

Dans un repère, la représentation graphique de f : x ↦ ax + b est la droite ( D) de coefficient directeur a et passant par le point P( 0 ; b). y = ax + b est appelée équation réduite de ( D).

Déterminer une fonction affine

Une fonction affine est déterminée par la donnée de deux nombres et de leurs images. Soit une fonction affine définie sur ℝ, telle que f( 2 ) = 2 et f( -2 ) = 4. Déterminer f. f est une fonction affine, donc il existe deux nombres a et b tels que pour tout x, f( x) = ax + b.

f( 2 ) = 2a + b = 2 et f( -2 ) = – 2a + b = 4

Le couple ( a ; b) vérifie le système : 

D’où la fonction affine  f ( x ) = – 1/2 x + 3

Propriétés des fonctions affines

Soit la fonction affine f(x) = ax + b définie sur ℝ. Soient x₁ et x₂ deux nombres distincts.

f(x₁) = ax₁ + b et f(x₂) = ax₂ + b, alors  ou encore 

f est une fonction affine si et seulement si l’accroissement y₂ – y₁ de l’image est proportionnel à l’accroissement x₂ – x₁ de la variable. Si f(α) = β alors f(x) = α(x – α) + β

f( x) = 0 pour x = – , la courbe représentative coupe l’axe des abscisses en –.

Sens de variation : 

a > 0 , f est strictement croissante sur ℝ.

a < 0 , g est strictement décroissante sur ℝ.                                           

a = 0 alors f( x) = b est une fonction constante.

Résoudre une inéquation

Soient f et g deux fonctions affines définies sur ℝ par : f( x) = – 2x + 5 et g ( x) =(2/3) x+ 2

a. A l’aide de la représentation graphique de f, résoudre f( x) ≥ 0.

b. Résoudre graphiquement l’inéquation f( x) < g ( x).

  • f( x) ≥ 0 ⇔ – 2x + 5 ≥ 0 , x ≤ (5/2)

Cela correspond à la portion de la droite Cf située au-dessus de l’axe des abscisses.

La solution de l’inéquation est : S = ]-1; 5/2]

  • f( x) < g ( x) ⇔ – 2x + 5 < (2/3) x + 2

La solution de cette inéquation est x > (11/8)                                                     
Cela correspond à la portion de la droite Cf située au-dessous de la droite Cg. En vert sur la figure.
Les solutions sont : S = [11/8; + 1[

Fonctions linéaires

Définition

Une fonction linéaire est une fonction définie sur ℝ par f( x) = ax, où a est un réel. Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère. Une fonction linéaire est croissante si a > 0 et décroissante si a < 0.

Exemples de fonctions linéaires

Vitesse

t ↦ vt ou encore d = vt est une fonction linéaire de coefficient directeur v. On a aussi t = (1/v) d alors t est une fonction linéaire de coefficient directeur (1/v)
et on a d ↦(1/v)d

Pourcentages

On augmente ou on diminue par exemple le prix d’un article de p%

Augmentation

f( x) = x +(px/100) =(( 100 + p)/100)x      Le coefficient directeur est ( 100 + p)/100

Diminution

f( x) = x -(px/100) =(( 100 – p)/100) x Le coefficient directeur est ( 100 – p)/100

Périmètre

Carré de côté a : P = 4a est une fonction linéaire de coefficient directeur 4. Cercle de rayon R : P = 2π R est une fonction linéaire de coefficient directeur 2π .