Equations du premier degré à une inconnue

Définition

C’est une égalité contenant l’inconnue x au degré 1, les autres termes étant des termes constants. Ce type d’équation se ramène toujours à l’égalité ax = b ( a ≠ 0 ) éventuellement après transformations. Les transformations permises sont :

  • développer, factoriser ou réduire chacun des membres de l’égalité ;
  • ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres de l’égalité, ceci revient à transposer un terme d’un
    membre dans l’autre membre ;

Le terme transposé change de signe lorsqu’il passe d’un membre à l’autre. multiplier ou diviser les deux membres de l’égalité par un même nombre non nul.

Solutions de l’équation

Si a ≠ 0 alors la solution de l’équation ax = b est x =.
Résoudre 3x = 5.

         On divise les deux membres de l’égalité par 3 : x =.
On conclut : Soit S l’ensemble des solutions de l’équation : S ={}

Cas particuliers :

Si a = 0 on a : 0x = b deux cas se présentent alors :

  • si b ≠ 0 il ne peut y avoir de solution : l’égalité n’est jamais vérifiée.
  • si b = 0 on a alors : 0x = 0 dans ce cas tout nombre est solution, on dit qu’il y a une infinité de solutions,
    l’ensemble des solutions de l’équation est ℝ. L’égalité est toujours vraie.

Equations produit

C’est une égalité dont le premier membre est un produit de la forme (ax + b)(cx + d)… et le second membre est nul.

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit que l’un au moins de ses facteurs soit nul.

Donc pour trouver les solutions d’une équation produit il suffit de rechercher les valeurs de x qui annulent chacun des facteurs. Donc de résoudre des équations du type I :
ax + b = 0                    cx + d = 0 ……….

Il y a autant de solutions que de facteurs différents.

Résoudre ( x + 2 )( x – 1 ) = 0
On reconnaît une équation produit, or un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est                nul,   donc l’équation revient à : x + 2 = 0 ou x – 1 = 0
On résout chacune des équations ci-dessus :
x + 2 = 0 soit x = – 2
x – 1 = 0 soit x = 1
L’équation ( x + 2 )( x – 1 ) = 0 a pour solution -2 et 1. Soit S l’ensemble des solutions : S = f -2 ; 1 g .

Equations de la forme  x 2 = k

Si k > 0 alors x2 = k a deux solutions : k p et – k p .

Si k = 0 alors x2 = k devient x2 = 0 l’équation n’a qu’une solution (appelée solution double) x = 0.

Si k < 0 alors l’équation x2 = k n’a pas de solution.

Résoudre l’équation x2 = 16.

On remplace 16 par 4 2×2 = 4 2
On soustrait 4 2 aux deux membres
x2 – 4 2 = 0
On factorise
( x + 4 )( x – 4 ) = 0
On est ramené à une équation produit qui a pour solutions :
x + 4 = 0 soit x = – 4
x – 4 = 0 soit x = 4
Donc les solutions de l’équation sont : 4 et -4.

Soit S l’ensemble des solutions : S = {-4 ; 4}.

Mise en équation

Un triangle équilatéral a pour périmètre 15 cm.

Quel est, en centimètres, la longueur des ses côtés ?

Il faut d’abord choisir l’inconnue, c’est ce que l’on cherche. Ici la longueur des côtés du triangle. Le triangle est équilatéral, donc ses trois côtés ont même longueur. Soit x cette longueur.

On connaît la valeur du périmètre, on cherche à exprimer le périmètre en fonction de x. Le périmètre d’un triangle est la somme des longueurs des ses côtés, on a donc :
Périmètre du triangle = 3x.

Or on sait que le périmètre du triangle est égal à 15, d’où l’équation :
3x = 15.

On résout cette équation :

x = 15/3
x = 5
On conclut par une phrase :
La longueur des côtés du triangle est égale à 5 centimètres.