Caractérisation d’une droite

Vecteur directeur

Si A et B sont deux points distincts d’une droite (D) alors  est un « vecteur directeur » de la droite ( D). Tout point M( x ; y) de la droite est tel que  et  sont colinéaires.

On a aussi  et  colinéaires.

Soit une droite (D), un point A de (D) et un vecteur directeur .

Un point M appartient à la droite ( D) si et seulement si les vecteurs et  sont colinéaires.

Équation réduite

Équation d’une droite

y = mx + p est l’équation réduite de la droite ( D).

Si la droite est parallèle à l’axe des ordonnées son équation est x = c.

L’ensemble des points M( x; y) du plan vérifiant y = mx + p ou x = c est une droite.

Coefficient directeur

L’ensemble des points M( x ; y) du plan vérifiant y = mx + p est une droite coupant l’axe des ordonnées, c’est la représentation graphique de la fonction affine x ↦ mx + p.  m est appelé coefficient directeur de la droite.

Lien avec ax + by + c = 0

Soit l’équation ax+by+c =0, d’où y = avec b ≠ 0.

Cette équation est de la forme y=mx+p. L’équation ax+by+c =0 est l’équation cartésienne d’une droite.

Déterminer l’équation réduite d’une droite

Déterminer une équation réduite de la droite (D) passant par les points A(-2 ; – 3) et B(1 ; 3).

Le vecteur  est un vecteur directeur de la droite, on a  , soit 

Soit M(x ; y) un point de (D), alors  et  sont colinéaires.

Avec   , la condition de colinéarité des vecteurs  et  donne :

3(y + 3) = 6(x + 2)

3y+9 =6x+12, d’où y =2x+1

L’équation de la droite (D) est  y=2x+1

Droites parallèles

Vecteurs colinéaires

Les droites (D) et (D’) sont parallèles si et seulement si un vecteur  de (D) et un vecteur  de (D’) sont des vecteurs colinéaires.

Vecteurs directeurs

Un vecteur directeur de la droite (D) est .

Un vecteur directeur de la droite (D’) est ‘ .

Les vecteurs sont  et ‘ colinéaires si et seulement si 1×m’ = 1×m soit m = m’.

Les droites (D) et (D’) sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs sont égaux.

(D) // (D’) ⇔ m = m’.

Déterminer l’équation d’une droite (D) passant par un point et parallèle à (D)

Méthode

La droite (D) parallèle à (D) a même coefficient directeur que (D) : m’ = m

L’équation cherchée est de la forme mx+p, on connaît m, reste à trouver p.

On sait que la droite (D) passe par le point A(xA ; yA), donc :

yA = mxA + p, d’où : p = yA– mxA

Trouver l’équation de la droite (D) passant par A( 3 ; 4 ) et parallèle à la droite (D) d’équation y =

Les droites (D) et (D) sont parallèles, donc elles ont même coefficient directeur m = .

L’équation de la droite (D) est donc de la forme y=

On sait que la droite ( D) passe par le point A( 3 ; 4 ), donc les coordonnées de A vérifient l’équation

y= , et on a :

yA, soit

L’équation de (D) est  y =x+(14/5)