Réduire et ordonner

Réduire

Réduire une somme ou une différence

Réduire une somme ou une différence c’est regrouper pour les ajouter (ou les retrancher) les termes semblables (termes de même variable x, y, z … qui sont élevées à la même puissance).

La réduction est terminée lorsqu’il n’y a plus qu’un seul terme de chaque type. On obtient une expression de 2 termes si on a 2 types de termes, de 3 termes si on a 3 types de termes …

Réduire l’expression 3a – 4a + 2                                                     3a – 4a + 2 = ( 3a – 4a) + 2 = – a + 2

Réduire des sommes contenant des quotients

On écrit le nombre sous forme d’une seule fraction puis on réduit le numérateur en utilisant la méthode précédente.

Réduire                                                                           

Réduire un produit ou un quotient

Réduire un produit ou un quotient c’est regrouper les différentes variables x, y, z … en appliquant les règles de calcul vues dans le chapitre sur les puissances :

Réduire                                                                     

Supprimer les parenthèses dans une somme algébrique

Les parenthèses précédées du signe + (ou d’aucun signe) peuvent être supprimées. Les parenthèses précédées du signe – peuvent être supprimées à condition de changer tous les signes des termes qui sont à l’intérieur.

Si la somme algébrique contient des parenthèses et des crochets, on commence par supprimer les parenthèses les plus intérieures.

Réduire B = a + [ b – ( 5 – a) ]

On supprime les parenthèses à l’intérieur des crochets en changeant les signes : B = a + [ b – 5 + a]
On supprime les crochets, sans changer les signes : B = a + b – 5 + a
On réduit B : B = 2a + b – 5

Ordonner

Ordonner c’est classer les termes par ordre de puissance croissante en finissant par les termes constants.

Réduire et ordonner :                                                                                                                                                                                                                    Maintenant on peut réduire  

Développer

Rappels

Développer une expression, c’est la transformer en une somme ne comprenant pas de parenthèses. Pour tous les nombres relatifs a, b et c on a :

a ( b + c ) = ab + ac                                                                                                      ( a + b )c = ac + bc
a ( b – c ) = ab – ac                                                                                                        ( a – b )c = ac – bc

On respecte la règle des signes d’un produit.

Développement du produit ( a + b ) ( c + d )

Soient a, b, c et d des nombres relatifs quelconques :

( a + b ) ( c + d ) = ac + ad + bc + bd .

Autres développements

( a + b)( c – d) = ac – ad + bc – bd
( a – b)( c – d) = ac – ad – bc + bd
( a – b)( c + d) = ac + ad – bc – bd

Développer B = ( x + 1 ) ( 3 + x )                                                                                        

Factoriser

Définition

C’est l’opération inverse du développement : c’est écrire une somme sous forme d’un produit.

Technique

Dans l’expression ax + a y les deux termes contiennent le facteur a. On dit que a est un facteur commun et on écrit : ax + a y = a( x + y). Pour factoriser une somme, on repère un facteur commun aux différents termes de la somme.

Factoriser 

x et 2 sont des facteurs communs, donc on peut mettre 2x en facteurs : 

Calculs numériques

Règles de priorité dans les calculs

On effectue d’abord les calculs entre parenthèses puis on les supprime. Puis on calcule les puissances, les multiplications/divisions et enfin les additions/soustractions. Deux opérations de même niveau de priorité s’effectuent dans l’ordre où elle sont écrites.

Exemples

Calculer pour x = 2

On écrit A en remplaçant x par 2 : 

On calcule d’abord les puissances : A = 3×4 – 2×2 + 5,

puis les multiplications : A = 12 – 4 + 5,

et enfin les additions et les soustractions : A = 13 .